En la geometría del plano euclídeo, una línea recta tangente a una circunferencia es aquella que toca la circunferencia exactamente en un punto, sin entrar nunca en su interior. Las líneas rectas tangentes a circunferencias dan lugar a numerosos teoremas y juegan un papel importante en muchas construcciones geométricas y demostraciones. Dado que la recta tangente a una circunferencia en un punto P es perpendicular al radio que incide en ese punto, los teoremas que involucran líneas tangentes a menudo también contienen rectas radiales y circunferencias ortogonales.

Rectas tangentes a una circunferencia Una línea recta t tangente a una circunferencia C la interseca en un solo punto T. A modo de comparación, las rectas secantes se cruzan con una circunferencia en dos puntos, mientras que otras rectas pueden no cruzarla. Esta propiedad de las rectas tangentes se conserva bajo muchas transformaciones geométricas, como el escalado, la rotación, las traslaciones, las inversiones y las proyecciones cartográficas. En lenguaje técnico, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de la recta y de la circunferencia tangentes, aunque ambas puedan ser deformadas.

El radio de una circunferencia es perpendicular a la recta tangente a través de su punto final en la circunferencia. Por el contrario, la perpendicular a un radio a través del mismo punto final es una recta tangente. La figura geométrica resultante de la circunferencia y la recta tangente presenta simetría especular respecto a un eje coincidente con el radio. mini| Según el teorema de la potencia de un punto, el producto de las longitudes PM·PN para cualquier rayo PMN es igual al cuadrado de PT, la longitud del segmento de la recta tangente marcado en color rojo No se puede dibujar una recta tangente a través de un punto dentro de un círculo, ya que dicha recta debe ser una secante. Sin embargo, se pueden dibujar dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto P situado fuera de la circunferencia. La figura geométrica de una circunferencia y ambas tangentes también posee una simetría de reflexión sobre el eje radial que une P al punto O, centro de la circunferencia. Por lo tanto, las longitudes de los segmentos desde P hasta los dos puntos tangentes son iguales. Según el teorema de la tangente-secante, el cuadrado de esta longitud tangente es igual a la potencia del punto P respecto a la circunferencia C. Esta potencia es igual al producto de distancias desde P a cada uno de los dos puntos de intersección de la circunferencia con una recta secante que pasa por P. mini| El ángulo θ entre una cuerda y una tangente es la mitad del arco que cubre la cuerda La recta tangente t y el punto de tangencia T tienen una relación conjugada entre sí, que se ha generalizado en la idea de puntos polares y líneas polares. La misma relación recíproca existe entre un punto P fuera de la circunferencia y la recta secante que une sus dos puntos de tangencia.

Si un punto P es exterior a una circunferencia con centro O, y si las rectas tangentes desde P tocan el círculo en los puntos T y S, entonces los ángulos ∠TPS y ∠TOS son suplementarios (suman 180°).

Si se traza una cuerda TM desde el punto de tangencia T del punto exterior P, y el ángulo ∠PTM ≤ 90°, entonces el ángulo ∠PTM = (1/2) ∠TOM.

Construcciones con regla y compás Es relativamente sencillo construir una recta t tangente a un punto T de una circunferencia

Se traza una recta a desde O, el centro de la circunferencia, a través del punto T; La recta t es la perpendicular a la recta a.

mini| Construcción de una tangente a un círculo dado (negro) desde un punto exterior dado (P) El teorema de Tales se puede usar para construir las líneas tangentes a un punto P externo al círculo C:

Se dibuja una circunferencia centrada en el punto medio M del segmento OP, que tiene un diámetro OP, donde O es nuevamente el centro de C. Los puntos de intersección T1 y T2 de la circunferencia C y la nueva circunferencia son los puntos tangentes para las rectas que pasan por P, según el siguiente argumento.

Los segmentos de línea OT1 y OT2 son radios de la circunferencia C. Como ambos están inscritos en una semicircunferencia, son perpendiculares a los segmentos PT1 y PT2 respectivamente. Pero solo una recta tangente es perpendicular al radio. Por lo tanto, las dos rectas desde P que pasan a través de T1 y T2 son tangentes a la circunferencia C.

Otro método para construir las rectas tangentes desde un punto P externo a la circunferencia usando solo una regla:

Dibujar tres rectas diferentes a través del punto P dado que intersequen la circunferencia dos veces. Sean los seis puntos de intersección, con la misma letra correspondiente a la misma recta y el índice 1 correspondiente al punto más cercano a P. Sea D el punto donde las rectas y se cortan, Del mismo modo, se determina E para las rectas y . Trazar una recta a través de D y E. Esta recta se encuentra con la circunferencia en dos puntos, F y G. Las tangentes son las líneas PF y PG.

Polígonos tangenciales Un polígono tangencial es aquel que tiene sus lados tangentes a una circunferencia, llamada incírculo. Cada triángulo es un polígono tangencial, como lo es cada polígono regular de cualquier número de lados. Además, para cada número de lados de un polígono existe un número infinito de polígonos tangenciales no congruentes.

Teorema del cuadrilátero tangente y las circunferencias inscritas Un cuadrilátero tangencial ABCD es una figura cerrada de cuatro lados rectos que son tangentes a una circunferencia dada C. De manera equivalente, la circunferencia C está inscrita en el cuadrilátero ABCD. Según el teorema de Pitot, las sumas de los lados opuestos de cualquiera de estos cuadriláteros son iguales, es decir,

mini| Cuadrilátero tangencial Esta conclusión se deriva de la igualdad de los segmentos tangentes de los cuatro vértices del cuadrilátero. Sean los puntos tangentes P (en el segmento AB), Q (en el segmento BC), R (en el segmento CD) y S (en el segmento DA). Los segmentos tangentes simétricos alrededor de cada punto de ABCD son iguales, por ejemplo, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d, y AS = AP = a. Pero cada lado del cuadrilátero está compuesto por dos segmentos tangentes

demostrando el teorema.

Lo contrario también es cierto: se puede inscribir una circunferencia en cada cuadrilátero en el que las longitudes de los lados opuestos suman el mismo valor.Alexander Bogomolny "When A Quadrilateral Is Inscriptible?" at Cut-the-knot

Este teorema y su recíproco tienen varios usos. Por ejemplo, muestran de inmediato que ningún rectángulo puede tener un círculo inscrito a menos que sea un cuadrado, y que cada rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un paralelogramo general no.

Rectas tangentes a dos circunferencias mini| El centro homotético S externo (arriba) e interno (abajo) de las dos circunferencias

Para dos circunferencias, generalmente hay cuatro rectas distintas que son tangentes a ambas (bitangentes), si las dos circunferencias están fuera una de la otra, pero en casos degenerados puede haber cualquier número entre cero y cuatro rectas bitangentes, casos que se abordan más adelante. Para el caso de circunferencias separadas, existen dos tangentes externas que dejan ambas circunferencias del mismo lado; y en el caso de las dos tangentes internas, las circunferencias caen en lados opuestos de cada recta. Las rectas tangentes externas se cruzan en el centro de homotecia externo, mientras que las rectas tangentes internas se cruzan en el centro de homotecia interno. Los centros de homotecia externo e interno se encuentran situados en la recta de centros (la recta que conecta los centros de las dos circunferencias). El externo se halla más cerca del centro de la circunferencia más pequeña, mientras que el centro interno se localiza en el segmento entre las dos circunferencias. Si las dos circunferencias tienen el mismo radio, todavía hay cuatro bitangentes, pero las tangentes externas son paralelas y no hay un centro externo en el plano afín; en el plano proyectivo, el centro homotético externo se encuentra en el punto del infinito correspondiente a la pendiente de estas rectas.

Tangente exterior mini|Encontrar la tangente exterior. Tangentes exteriores de dos circunferencias

La línea recta roja que une los puntos y es la tangente externa entre las dos circunferencias. Dados los puntos , , los puntos , se pueden calcular fácilmente con ayuda del ángulo :

Aquí R y r indican los radios de las dos circunferencias y el ángulo se puede calcular usando trigonometría básica. Dado que , con y ()

Tangente interior mini|Tangente interior. Las rectas tangentes externas pasan a través del centro de homotecia interno

Una tangente interna es aquella que cruza el segmento que une los centros de las dos circunferencias. Téngase en cuenta que la tangente interna no se definirá para los casos en que las dos circunferencias se corten.

Construcción Las rectas bitangentes pueden determinarse construyendo los centros de homotecia, como se describe en ese artículo, y luego trazando desde estos centros las tangentes a una de las dos circunferencias por uno de los métodos descritos anteriormente. Las rectas resultantes también serán tangentes a la otra circunferencia. Alternativamente, las tangentes y los puntos de tangencia se pueden determinar más directamente, como se detalla a continuación. Téngase en cuenta que en casos degenerados estas construcciones quedan invalidadas. Para simplificar la exposición, esta circunstancia no se trata en esta sección, pero los métodos de construcción pueden funcionar en casos límite (como por ejemplo, dos circunferencias tangentes en un punto).

Geometría sintética Sean O1 y O2 los centros de las dos circunferencias, C1 y C2 y sean r1 y r2 sus radios, con r1 > r 2; en otras palabras, la circunferencia C1 se define como la mayor de las dos. Se pueden usar dos métodos diferentes para construir las rectas tangentes externas e internas.

Tangentes externas

mini| Construcción de la tangente exterior

Se dibuja una nueva circunferencia C3 de radio r1 − r2 centrada en O1. Usando el método anterior, se dibujan dos rectas desde O2 que son tangentes a esta nueva circunferencia. Estas rectas son paralelas a las tangentes buscadas, porque la situación corresponde a reducir ambas circunferencias C1 y C2 en una cantidad constante r2, lo que convierte a C2 a un punto. Se pueden dibujar dos rectas radiales desde el centro O1 a través de los puntos tangentes en C3, que se cruzan con C1 en los puntos tangentes buscados. Las líneas rectas tangentes externas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que pueden construirse como se describió anteriormente.

Tangentes internas

mini| Construcción de la tangente interior

Se dibuja una nueva circunferencia C3 de radio r1 + r2 centrada en O1. Usando el método anterior, se dibujan dos líneas de O2 que son tangentes a esta nueva circunferencia. Estas rectas son paralelas a las tangentes buscadas, porque la situación corresponde a reducir C2 a un punto, mientras que se expande C1 en una cantidad constante, r2. Se pueden dibujar dos líneas rectas radiales desde el centro O1 a través de los puntos de tangencia en C3, que se cruzan con C1 en los puntos de tangencia buscados. Las tangentes internas son las rectas perpendiculares a estas rectas radiales en los puntos de tangencia, que pueden construirse como se describió anteriormente.

Tangentes comunes a dos cónicas

Si en vez de dos circunferencias tenemos dos cónicas cualesquiera no degeneradas, aún podemos dar una construcción de las tangentes comunes a ambas. El método se basa en que los polos de las tangentes a una cónica respecto de otra forman una cónica (lo que se puede probar analíticamente).