En filosofía de las matemáticas, el estructuralismo considera las matemáticas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales, es decir, las relaciones de los elementos dentro de un sistema, en lugar de objetos independientes con propiedades intrínsecas. El estructuralismo ha influido en diversas áreas de la matemática moderna, incluyendo la teoría de categorías, la teoría de tipos homotópica y la física teórica.

Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro, Michael Resnik,Por ejemplo: Michael D. Resnik (2004): Structuralism and the Independence of Mathematics Geoffrey HellmanPor ejemplo: G. Hellman (1996): Structuralism without structures y Paul Benacerraf.

Introducción Según Stewart Shapiro, «El estructuralismo matemático es similar, en algunos aspectos, al punto de vista funcionalista en, por ejemplo, la filosofía de la mente. Una definición funcional es, en efecto, estructural, ya que, también se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro. La diferencia es que las estructuras matemáticas son más abstractas, y autónomas, en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar.»Stewart Shapiro, en Mathematical Structuralism en "Internet Encyclopedia of Philosophy (IEP) 2010Stewart Shapiro (1997) Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology

Para ilustrar lo anterior, considérese un «sistema ejemplo» tal como la administración de un club deportivo.Stewart Shapiro, „Thinking About Mathematics“, Oxford 2000, S. 263 Los distintos cargos (presidente, auditor, tesorero, etc.) son independientes de las personas que asumen esas tareas. Considerando sólo el esquema de los cargos (y por tanto «omitiendo» las personas reales que trabajan en ellos), se obtiene la estructura general de una asociación. El club en sí, con las personas que han tomado posesión de los cargos, ejemplifica esta estructura.

Puesto que el estructuralismo no considera los objetos de manera separada de su totalidad o estructura, sino que más bien los considera como "espacios en una estructura", esquiva la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos y los explica como errores categoriales. Así, por ejemplo, el número dos, en tanto número natural, ya no se puede considerar en forma separada de la estructura de los números naturales, sino como el identificador del «segundo lugar en la estructura de los números naturales»: no tiene propiedades internas ni una estructura propia. En consecuencia, existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matemáticos, como otras que rechazan su existenciaPara una introducción a este aspecto, ver STRUCTURALISM, MATHEMATICAL Ver también Julian C. Cole (2010): Mathematical Structuralism Today

Historia El estructuralismo matemático tiene sus raíces a inicios del , particularmente con el movimiento Bourbaki, un grupo de matemáticos franceses que desde la década de 1930 promovieron una visión formalista basada en la idea de que todo objeto matemático podía definirse como un conjunto con una cierta estructura (e.g., grupos, anillos, espacios topológicos).

Posteriormente, el estructuralismo en la filosofía de las matemáticas se desarrolló más con las contribuciones de filósofos como Paul Benacerraf, quien argumenta contra la idea de que los números sean un objeto particular. Inicialmente, observa que las definiciones de los naturales usando ordinales de von Neumann o de Zermelo son igualmente válidas como representaciones de los naturales, aunque identifican a distintos conjuntos con los números. Así, realmente ningún objeto particular podría ser los números; cualquier conjunto infinito de objetos vale como representación de los naturales. Aunque, recientemente, se ha cuestionado si el acercamiento estructuralista de los números es adecuado pues no da cuenta del hecho de que los naturales con y sin el número 0 son estructuras estrictamente distintas en la mayoría de formulaciones del estructuralismo, aunque en la práctica se consideran intercambiables y equivalentes por los matemáticos. De esta forma, algunos autores siguen afirmando que los ordinales de von Neumann son los verdaderos números naturales, en tanto poseen muchas otras ventajas y propiedades beneficiosas matemáticas no consideradas originalmente por Benacerraf, pero consideradas por los matemáticos modernos.

El estructuralismo encontró eco en la teoría de categorías, donde los objetos se definen por sus morfismos, y en la teoría de tipos homotópica (HoTT), que interpreta los tipos como espacios topológicos con relaciones homotópicas y donde, según algunos autores, un enfoque estructuralista podría plantearse gracias a su axioma de Univalencia. Estas áreas extienden el enfoque estructural más allá de los conjuntos, alineándose con críticas de Benacerraf a las fundaciones conjuntistas (e.g., el paradigma Bourbaki o reduccionismo de Zermelo).

Críticas Los problemas del estructuralismo matemático surgen principalmente en torno a la naturaleza y existencia de las estructuras.Por ejemplo: Uri Nodelman - Edward N. Zalta.: Foundations for Mathematical Structuralism Al igual que en el problema de los universales es aparente que las «estructuras» son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simultáneamente. Por ejemplo, la estructura de un equipo de fútbol es ciertamente ejemplificado por miles de equipos. Esto plantea preguntas fundamentales: ¿existen las estructuras de manera independiente de los sistemas que las instancian? ¿Y, de ser así, cómo podemos tener conocimiento de ellas o aprender acerca de su naturaleza?

Véase también

Logicismo Intuicionismo Platonismo matemático

Referencias

Categoría:Filosofía de la matemática