thumb|La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos. La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa al diferencial de una función.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Lo usaron por primera vez los científicos René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Leibniz y Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Principales objetivos del cálculo integral
Los principales objetivos a estudiar son:
Deducción de fórmulas de velocidad Área de una región plana Cambio de variable Integrales indefinidas Integrales definidas Integrales impropias Integral de línea
Integrales homogéneas Integrales múltiples (dobles o triples) Integrales trigonométricas, Integrales logarítmicas y exponenciales Métodos de integración Teorema fundamental del cálculo Volumen de un sólido de revolución
Teoría
thumb|250px|right| se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b. Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje y las líneas verticales y ; son negativas las áreas por debajo del eje .
El vocablo «integral» también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
thumb|Qué es la integral (animación)
Formularon los principios de la integración Newton y Leibniz a finales del . A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia y en ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del , empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral en los que se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se está integrando, la cual conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que desarrolló Henri Lebesgue.
Historia
Integración antes del cálculo La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, hacia 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (hacia 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Arquímedes desarrolló y usó este método más adelante y lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. En China Liu Hui desarrolló métodos similares de forma independiente alrededor del y los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.
Hasta el no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhaución. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri y su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezaron a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.
Newton y Leibniz
Los principales adelantos en integración vinieron en el con la formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de la matemática que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.
Formalización de las integrales
Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable la expresión del obispo Berkeley interpretando los infinitesimales como los «fantasmas de las cantidades que se desvanecen».
El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del , recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. Riemann formalizó por primera vez rigurosamente la integración empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más generales para las cuales la definición de Riemann no era aplicable y por tanto no eran integrables en el sentido de Riemann. Posteriormente Lebesgue dio una definición diferente de la integralEn el caso de las funciones a las que se aplica la definición de Riemann, los resultados coinciden. basada en la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann; así, toda función integrable en el sentido de Riemann también lo es en el sentido de Lebesgue, aunque existen algunas funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo son en el sentido de Riemann. Más recientemente se han propuesto otras definiciones de integral aún más generales que amplían las definiciones de Riemann y Lebesgue.
Notación
thumb|El símbolo de integral en escritos (de izquierda a derecha) ingleses, alemanes y rusos Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con y con , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación «caja» era difícil de reproducir por los impresores; por ello, no se adoptaron ampliamente estas notaciones.
La notación moderna de las integrales indefinidas la presentó Leibniz en 1675.Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6.ª ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, p. 154 Para indicar summa (ſumma; en latín ‘suma’ o ‘total’), adaptó el símbolo integral, «∫», a partir de una letra S alargada porque consideraba a la integral como una suma infinita de addendas («sumandos») infinitesimales. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819-20, reimpresa en su libro de 1822.Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pp. 247-252, ISBN 978-0-486-67766-8Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231,
Existen ligeras diferencias en la notación del símbolo de la integral en la literatura de las diversas lenguas: el símbolo inglés está inclinado hacia la derecha, el alemán tradicionalmente se ha escrito derecho (sin inclinación) mientras la variante rusa tradicional está inclinada hacia la izquierda.
En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido 22px.W3C (2006). Arabic mathematical notation
Generalizaciones modernas
Tras la creación del cálculo integral a partir del y su desarrollo más o menos intuitivo durante un par de siglos, la noción de integración se analizó con mayor rigor durante el . Así, la primera noción rigurosa de integración es el concepto de integral de Riemann y su generalización conocida como integral de Riemann-Stieltjes. A principios del , el desarrollo de la teoría de la medida llevó al concepto más general y cualitativamente más avanzado de integral de Lebesgue. Más tarde el desarrollo de la noción de proceso estocástico dentro de la teoría de la probabilidad llevó a la formulación de la integral de Itō hacia el final de la primera mitad del y posteriormente a su generalización conocida como integral de Skorohod (1975). Asimismo, desde los años 1960, se ha buscado una definición matemáticamente rigurosa de integral de caminos cuánticos.
Recientemente se ha desarrollado el Cálculo Fraccional de Conjuntos (en inglés, Fractional Calculus of Sets o FCS) como una metodología derivada del Cálculo Fraccional. Esta metodología, mencionada por primera vez en el artículo "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods tiene como objetivo caracterizar y organizar los elementos del cálculo fraccional mediante el uso de conjuntos, aprovechando la variedad de operadores fraccionales disponibles en la literatura.A review of definitions for fractional derivatives and integralA review of definitions of fractional derivatives and other operatorsHow many fractional derivatives are there?Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receiversCode of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programmingSets of Fractional Operators and Some of Their Applications