En matemáticas, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permite hallar la solución de para la ecuación

con e que pueden ser no conmutativos en el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Hay varias formas de escribir la fórmula, pero todas finalmente producen una expresión para en términos algebraicos de Lie, es decir, como una serie formal (no necesariamente convergente) en e y conmutadores iterados de los mismos. Los primeros términos de esta serie son:

donde "" indica términos que involucran conmutadores superiores de e . Si e son elementos suficientemente pequeños del álgebra de Lie de un grupo de Lie , la serie es convergente. Mientras tanto, cada elemento suficientemente cerca de la identidad en puede expresarse como por un pequeño en . Por lo tanto, se puede decir que cerca de la identidad la multiplicación grupal en — escrita como — puede expresarse en términos puramente algebraicos de Lie. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se puede utilizar para proporcionar demostraciones comparativamente simples de resultados profundos en la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie.

Si e son matrices lo suficientemente pequeñas de orden , entonces se puede calcular como el logaritmo de , donde los exponenciales y el logaritmo se pueden calcular como series de potencias. El punto de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff es, entonces, la afirmación claramente no obvia de que puede expresarse como una serie en conmutadores repetidos de e .

Las exposiciones modernas de la fórmula se pueden encontrar, entre otros lugares, en los libros de Rossmann y Hall.

Historia La fórmula lleva el nombre de Henry Frederick Baker, John Edward Campbell y Felix Hausdorff, quienes establecieron su forma cualitativa, es decir, que solo se necesitan conmutadores y conmutadores de conmutadores, hasta el infinito, para expresar la solución. Una declaración anterior de la forma fue redactada por Friedrich Schur en 1890,F. Schur (1890), "Neue Begruendung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen," Mathematische Annalen, 35 (1890), 161–197. online copy donde se daba una serie de potencias convergente, con términos definidos recursivamente.see, e.g., Shlomo Sternberg, Lie Algebras (2004) Harvard University. (Véase página 10.) Esta forma cualitativa es la que se usa en las aplicaciones más importantes, como las pruebas relativamente accesibles de la correspondencia de Lie y la teoría cuántica de campos. Siguiendo a Schur, CampbellJohn Edward Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 28 (1897) 381–390; J. Campbell, Proceedings of the London Mathematical Society 29 (1898) 14–32. (1897) publicó la fórmula en forma impresa; Henri PoincaréHenri Poincaré, Comptes rendus de l'Académie des Sciences 128 (1899) 1065–1069; Transactions of the Cambridge Philosophical Society 18 (1899) 220–255. (1899) y BakerHenry Frederick Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 34 (1902) 347–360; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (1) 35 (1903) 333–374; H. Baker, Proceedings of the London Mathematical Society (Ser 2) 3 (1905) 24–47. (1902) la elaboraron; y HausdorffFelix Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48. (1906) la sistematizó geométricamente y la vinculó a la identidad de Jacobi. La primera fórmula explícita real, con todos los coeficientes numéricos, se debe a Eugene Dynkin p. 23 (1947). La historia de la fórmula se describe en detalle en el artículo de Achilles y Bonfiglioli y en el libro de Bonfiglioli y Fulci.

Formas explícitas Para muchos propósitos, solo es necesario saber que una expansión para en términos de conmutadores iterados de e existe. Los coeficientes exactos son a menudo irrelevantes (véase por ejemplo, la discusión de la relación entre el grupo de Lie y los homomorfismos del álgebra de Lie en la Sección 5.2 del libro de Hall, donde los coeficientes precisos no juegan ningún papel en el argumento). Martin Eichler presentó una prueba de existencia notablemente directaMartin Eichler (1968). "A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula", Journal of the Mathematical Society of Japan 20, 23-25. online open access. (véase también a continuación la sección "Resultados de existencia").

En otros casos, se puede necesitar información detallada sobre y por lo tanto es deseable calcular tan explícitamente como sea posible. Existen numerosas fórmulas; aquí se describen dos de las principales (la fórmula de Dykin y la fórmula integral de Poincaré).

Fórmula de Dynkin Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Entonces

es una aplicación exponencial. La siguiente fórmula combinatoria general fue introducida por Eugene Dynkin (1947),Nathan Jacobson, Lie Algebras, John Wiley & Sons, 1966.

donde la suma se realiza sobre todos los valores no negativos de y , y se ha utilizado la siguiente notación:

Cabe destacar que la serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula establecida es válida) para todos e lo suficientemente pequeños. Como , el término es cero si o si y .A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras", Academic Press, New York, 1973. .

Los primeros términos son bien conocidos, con todos los términos de orden superior que involucran [ X, Y ] y sus anidaciones de conmutador (por lo tanto, en el álgebra de Lie): La lista anterior enumera todos los sumandos de orden 5 o inferior (es decir, aquellos que contienen 5 o menos X e Y). La (anti-)/simetría X ↔ Y en órdenes alternos de la expansión, se deduce de . Una prueba elemental completa de esta fórmula se puede encontrar en el artículo dedicado a la derivada de la aplicación exponencial.

Fórmula integral Hay numerosas otras expresiones para , muchas de las cuales se utilizan en la literatura de física. Una fórmula integral conocida esW. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, pp 159–161. Theorem 5.3

involucrando la función generadora para los números de Bernoulli,

utilizada por Poincaré y Hausdorff.Recuérdese que: , para los números de Bernoulli, B0 = 1, B1 = 1/2, B2 = 1/6, B4 = −1/30, ...

Ilustración del grupo matricial de Lie Para un grupo matricial de Lie el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I, y el conmutador es simplemente [ X, Y ] = XY - YX ; la aplicación exponencial es la aplicación exponencial estándar de matrices,

Cuando se resuelve para Z en

usando las expansiones de serie para y , se obtiene una fórmula más simple:

. Ecuación (2) Sección 1.3. Para álgebras de Lie matriciales sobre los campos y , el criterio de convergencia es que las series del logaritmo convergen por ambos lados de . Esto es así siempre que según la norma de Hilbert-Schmidt. La convergencia puede verificarse en un amplio dominio. Véase p. 24.

Los términos de primer, segundo, tercer y cuarto orden son:

Cabe destacar que las fórmulas para los distintos 's no son la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Más bien, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es una de las varias expresiones para 's en términos de conmutadores repetidos de e . El punto es que está lejos de ser obvio que es posible expresar cada en términos de conmutadores (se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que es expresable como una combinación lineal de los dos conmutadores no triviales de tercer orden de e a saber e ). El resultado general de que cada se puede expresar como una combinación de conmutadores fue demostrado por Eichler de una manera elegante y recursiva.Martin Eichler (1968). "A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula", J. Math. Soc. Japan 20, 23-25. online open access.

Una consecuencia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza:

Es decir, ya que cada con es expresable como una combinación lineal de conmutadores, la traza de cada uno de estos términos es cero.

Cuestiones de convergencia Supóngase que e son las siguientes matrices en el álgebra de Lie (el espacio de matrices con traza cero):

.

Entonces

No es difícil demostrar Example 3.41 que no existe una matriz en con (se pueden encontrar ejemplos similares en el artículo de Wei).

Este sencillo ejemplo ilustra un punto importante: las diversas versiones de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que dan expresiones para Z en términos de paréntesis de Lie iterados de X e Y, describen series formales de potencias cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si se quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contiene X e Y (en oposición a una serie de potencias formal), se debe suponer que X e Y son pequeños. Por lo tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es solo una declaración local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente se puede tener grupos de Lie no isomórficos con álgebras de Lie isomórficas.

Concretamente, si se trabaja con un álgebra de Lie matricial y es una norma de matriz submultiplicativa dada, la convergencia está garantizada si

Casos especiales Si e conmutan, eso es , la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se reduce a .

Un caso más interesante supone que conmuta con ambos e , en cuanto al grupo nilpotente de Heisenberg. Entonces la fórmula se reduce a sus primeros tres términos.

Teorema: Theorem 5.1 Si e conmutan con su conmutador, , luego .

Este es el caso degenerado utilizado habitualmente en la mecánica cuántica, como se ilustra a continuación. En este caso, no hay restricciones de pequeñez en e . Este resultado está detrás de las "relaciones de conmutación exponencial" que entran en el teorema de Stone-von Neumann. A continuación se muestra una prueba simple de esta identidad.

Otra forma útil de la fórmula general enfatiza la expansión en términos de Y y usa la notación de correspondencia adjunta :

que es evidente por la fórmula integral anterior (los coeficientes de los conmutadores anidados con un solo son números de Bernoulli normalizados).

Ahora supóngase que el conmutador es un múltiplo de , así que . Entonces, todos los conmutadores iterados serán múltiplos de , y sin términos cuadráticos o superiores en . Por lo tanto, el término anterior desaparece y se obtiene:

Teorema: Exercise 5.5 Si , dónde es un número complejo con para todos los enteros , entonces se tiene que

Nuevamente, en este caso no hay restricción de pequeñez en e . La restricción sobre garantiza que la expresión en el lado derecho tiene sentido. (Cuando se puede interpretar que). También se obtiene una simple "identidad de trenzado":

que puede escribirse como una dilatación adjunta:

Resultados de existencia Si e son matrices, se puede calcular usando la serie de potencias para el exponencial y el logaritmo, con convergencia de la serie si e son lo suficientemente pequeños. Es natural reunir todos los términos donde el grado total en e es igual a un número fijo , dando una expresión (consúltese la sección "Ilustración del grupo matricial de Lie" anterior para ver las fórmulas de los primeros 's). Una prueba recursiva notablemente directa y concisa de que cada es expresable en términos de conmutadores repetidos de e fue deducida por Martin Eichler.

Alternativamente, se puede dar un argumento de existencia de la siguiente manera. La fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff implica que si X e Y están en algún álgebra de Lie definida sobre cualquier campo de característica 0 como o , entonces