En matemáticas, los cuaterniones duales constituyen un álgebra isomorfa al álgebra de Clifford de una forma cuadrática degenerada.
En teoría de anillos, los cuaterniones duales son anillos construidos de la misma manera que los cuaterniones, excepto porque usan números duales en lugar de números reales como coeficientes. Un cuaternión dual puede representarse en la forma , donde p y q son cuaterniones ordinarios y ε es la unidad dual (que satisface que ) y conmuta con cada elemento del álgebra. A diferencia de los cuaterniones, no forman un anillo de división.
En mecánica, los cuaterniones duales se aplican como números para representar transformaciones rígidas en tres dimensiones.A.T. Yang, Application of Quaternion Algebra and Dual Numbers to the Analysis of Spatial Mechanisms, Ph.D thesis, Columbia University, 1963. Un cuaternión dual es un par ordenado de cuaterniones , construido a partir de ocho parámetros reales. Debido a que las transformaciones rígidas tienen seis grados reales de libertad, los cuaterniones dobles incluyen dos restricciones algebraicas para esta aplicación.
De manera similar a la forma en que las rotaciones en el espacio 3D pueden representarse por cuaterniones de longitud unitaria, los movimientos rígidos en el espacio 3D pueden representarse por cuaterniones duales de longitud unitaria. Este hecho se usa en cinemática teórica (véase McCarthy), y en aplicaciones a 3D de computación gráfica, robótica y visión artificial.
Historia William Rowan Hamilton introdujo los cuaternionesW. R. Hamilton, "On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra," Phil. Mag. 18, installments July 1844 – April 1850, ed. by D. E. Wilkins (2000)<ref>[https://books.google.com/books?id=GFYtAAAAYAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false W. R. Hamilton, Elements of Quaternions, Longmans, Green & Co., London, 1866]</ref> en 1843, y en 1873 W. K. Clifford obtuvo una amplia generalización de estos números, a los que llamó "bicuaterniones",W. K. Clifford, "Preliminary sketch of bi-quaternions, Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395W. K. Clifford, Mathematical Papers, (ed. R. Tucker), London: Macmillan, 1882. que son un ejemplo de lo que ahora se llama álgebra de Clifford.J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics, pp. 62–5, MIT Press 1990.
En 1898 Alexander McAulay usó Ω con la propiedad de que Ω2 = 0 para generar el álgebra de los cuaterniones duales.Alexander McAulay (1898) Octonions: a development of Clifford's Biquaternions, link from Internet Archive Sin embargo, su terminología de "octoniones" no se mantuvo, ya que los octoniones de hoy son otra álgebra.
En Rusia, Aleksandr KotelnikovA. P. Kotelnikov (1895) Screw calculus and some applications to geometry and mechanics, Annal. Imp. Univ. Kazan desarrolló vectores duales y cuaterniones duales para su uso en el estudio de la mecánica.
En 1891, Eduard Study se dio cuenta de que esta álgebra asociativa era ideal para describir el grupo de movimientos en el espacio tridimensional. Desarrolló aún más la idea en "Geometrie der Dynamen" en 1901.Eduard Study (1901) Geometrie der Dynamen, Teubner, Leipzig Bartel Leendert van der Waerden llamó a la estructura "Bicuaterniones de Study", una de las tres álgebras de ocho dimensiones denominadas bicuaterniones.
Fórmulas Para describir operaciones con cuaterniones duales, es útil considerar primero los cuaterniones ordinarios.O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland Publ. Co., 1979
Un cuaternión es una combinación lineal de los elementos básicos 1, i, j y k. La regla del producto de Hamilton para i, j y k a menudo se escribe como
Calculando se obtiene y o . Ahora, debido a que , se observa que de aplicar este producto resulta , lo que vincula los cuaterniones a las propiedades de los determinantes.
Una forma conveniente de trabajar con el producto de cuaterniones es escribir un cuaternión como la suma de un escalar y un vector, es decir, , donde a0 es un número real y es un vector tridimensional. Las operaciones de producto escalar y vectorial se pueden usar entonces para definir el producto de dos cuaterniones y como
Un cuaternión dual generalmente se describe como un cuaternión con números duales como coeficientes. Un número dual es un par ordenado . Para sumar dos números duales basta sumar sus componentes entre sí; y para multiplicarlos se sigue la regla de que . Los números duales a menudo se escriben en la forma , donde ε es la unidad dual que conmuta con i, j, k y tiene la propiedad .
El resultado es que un cuaternión dual es un par ordenado de cuaterniones . Dos cuaterniones duales se suman componente a componente y se multiplican por la regla,
Es conveniente escribir un cuaternión dual como la suma de un escalar dual y un vector dual, , donde y es el vector dual que define un torsor. Esta notación permite escribir el producto de dos cuaterniones duales como
Adición La adición de cuaterniones duales se define por componentes, de modo que dado
y
entonces
Multiplicación La multiplicación de dos cuaterniones duales se deduce de las reglas de la multiplicación para las componentes de los cuaterniones i, j, k y de la multiplicación conmutativa por la unidad dual ε. En particular, dado
y
entonces
Téngase en cuenta que no hay un término BD, porque la definición de números duales implica que .
Esto facilita la tabla de multiplicación (téngase en cuenta que el orden de multiplicación es fila por columna):
+ Tabla de multiplicar cuaterniones duales unitarios × 1 i j k ε εi εj εk 1 1 i j k ε εi εj εk i i −1 k −j εi −ε εk −εj j j −k −1 i εj −εk −ε εi k k j −i −1 εk εj −εi −ε ε ε εi εj εk 0 0 0 0 εi εi −ε εk −εj 0 0 0 0 εj εj −εk −ε εi 0 0 0 0 εk εk εj −εi −ε 0 0 0 0
Conjugado El conjugado de un cuaternión dual es la extensión del conjugado de un cuaternión, es decir
Al igual que con los cuaterniones, el conjugado del producto de los cuaterniones duales, , es el producto de sus conjugados en orden inverso.
Es útil introducir las funciones Sc(∗) y Vec(∗) que seleccionan las partes escalar y vectorial de un cuaternión, o las partes escalar dual y vector dual de un cuaternión dual. En particular, si , entonces
Esto permite la definición del conjugado de  como
o,
El producto de un cuaternión dual con sus productos conjugados
es un escalar dual, correspondiente con la magnitud al cuadrado del cuaternión dual.
Conjugado de un número dual
Un segundo tipo de conjugado de un cuaternión dual se obtiene tomando el conjugado de número dual, dado por
Los conjugados de cuaternión y número dual se pueden combinar en una tercera forma de conjugado dada por
En el contexto de los cuaterniones duales, el término "conjugado" puede usarse para referirse al conjugado del cuaternión, al conjugado del número dual, o a ambos.
Norma La norma de un cuaternión dual se calcula usando el conjugado para calcular . Este es un número dual llamado magnitud del cuaternión dual. Los cuaterniones duales con se denominan cuaterniones duales unitarios.
Cuaterniones duales de magnitud 1 se utilizan para representar desplazamientos euclidianos espaciales. Obsérvese que el requisito de que 1 introduce dos restricciones algebraicas en los componentes de Â, es decir
Inverso Si es un cuaternión dual y p no es cero, entonces el cuaternión dual inverso viene dado por p−1 (1 − ε q '' p−1). Por lo tanto, los elementos del subespacio no tienen inversos. Este subespacio se llama ideal en teoría de anillos. Resulta ser el maximal ideal único del anillo de los números duales.
La unidad del anillo de los números duales consta de números que no están en el propio ideal. Los números duales forman un anillo local, ya que existe un ideal máximo único. El grupo de las unidades es un grupo de Lie y puede estudiarse usando la aplicación exponencial. Los cuaterniones duales se han utilizado para estudiar las transformaciones en el grupo euclídeo. Un elemento general se puede describir como una transformación helicoidal.
Cuaterniones duales y desplazamientos espaciales Un beneficio de la formulación de los cuaterniones duales relativa a la composición de dos desplazamientos espaciales DB = ([RB], b) y DA = ([RA], a) es que el cuaternión dual resultante produce directamente el eje helicoidal y el ángulo doble del desplazamiento compuesto DC = DBDA.
En general, el cuaternión dual asociado con un desplazamiento espacial D = ([A], d) se construye a partir de su eje helicoidal S = (S, V) y el ángulo doble (φ, d) donde φ es la rotación y d la proyección sobre este eje, que define el desplazamiento D. El cuaternión dual asociado está dado por
Sea la composición del desplazamiento DB con DA siendo el desplazamiento DC = DBDA. El eje del torsor y el ángulo doble de DC se obtienen del producto de los cuaterniones duales DA y DB, dados por
Es decir, el desplazamiento compuesto DC = DBDA tiene el cuaternión dual asociado dado por
Desarrollando este producto, se obtiene
Dividiendo ambos lados de esta ecuación por la identidad, resulta
para obtener
Esta es la fórmula de Rodrigues para el eje del movimiento helicoidal de un desplazamiento compuesto definido en términos de los ejes del resultado helicoidal de los dos desplazamientos. Esta fórmula se dedujo en 1840.Rodrigues, O. (1840), Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, et la variation des coordonnées provenant de ses déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées de Liouville 5, 380–440.
Los tres ejes helicoidales A, B y C forman un triángulo espacial y los ángulos dobles en estos vértices formados por las normales comunes que forman los lados de este triángulo están directamente relacionados con los ángulos dobles de los tres desplazamientos espaciales.
Forma matricial de la multiplicación de cuaterniones duales La representación matricial del producto de cuaterniones es conveniente para programar sus cálculos utilizando álgebra matricial, lo que también es cierto para las operaciones con cuaterniones duales.
El producto de cuaterniones AC es una transformación lineal por el operador A de los componentes del cuaternión C, y por lo tanto, existe una representación matricial de A que opera sobre el vector formado a partir de las componentes de C.
Introduciendo los componentes del cuaternión en la matriz , se observa que los componentes de la parte del vector del cuaternión se enumeran primero y el escalar se enumera en último lugar. Esta es una elección arbitraria, pero una vez que se selecciona esta convención, se debe cumplir sistemáticamente.
El producto de cuaterniones AC ahora puede representarse como el producto matricial
El producto AC también puede ser visto como una operación de C sobre las componentes de A, en cuyo caso se tiene que
El producto del cuaternión dual  = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC) puede formularse como una operación matricial de la siguiente manera. Introduciendo los componentes de Ĉ en la matriz de ocho dimensiones Ĉ = (C1, C2, C3, c0, D1, D2, D3, d0), se tiene que el producto de la matriz de 8x8 proporciona Ĉ
Como se vio para los cuaterniones, el producto ÂĈ puede considerarse como la operación de Ĉ sobre el vector de coordenadas Â, lo que significa que ÂĈ también puede formularse como
Más sobre los desplazamientos espaciales El cuaternión dual de un desplazamiento D = ([A], d) se puede construir a partir del cuaternión S = cos (φ/2) + sin (φ/2) S que define la rotación [A] y el cuaternión del vector construido a partir del vector de traslación d, dado por D = d1i + d2j + d3k. Usando esta notación, el cuaternión dual para el desplazamiento D = ([A], d) viene dado por
Sean las coordenadas plückerianas de una recta en la dirección x que atraviesa un punto p de un cuerpo en movimiento y sus coordenadas en el marco de referencia fijo situado en la dirección X a través del punto P dado por,