En física e ingeniería, las rotaciones encadenadas de Davenport son tres rotaciones intrínsecas encadenadas sobre ejes específicos fijados en el cuerpo. Las rotaciones de Euler y de Tait-Bryan son casos particulares de la descomposición general de la rotación de Davenport. Estos ángulos de rotación se denominan así porque el problema general de descomponer una rotación en una secuencia de tres giros fue estudiado primero por Paul B. Davenport.P. B. Davenport, Rotations about nonorthogonal axes
El sistema de coordenadas giratorio, que no es ortogonal, puede imaginarse como sólidamente unido a un cuerpo rígido. En este caso, a veces se lo denomina sistema de coordenadas local. Al ser los ejes de rotación solidarios con el cuerpo en movimiento, las rotaciones generalizadas se pueden dividir en dos grupos (aquí x, y y z se refieren al sistema de referencia móvil no ortogonal):
Rotaciones de Euler generalizadas Rotaciones de Tait-Bryan generalizadas .
La mayoría de los casos pertenecen al segundo grupo, siendo las rotaciones de Euler generalizadas un caso degenerado en el que los ejes primero y tercero se superponen.
Teorema de rotación de Davenport
El problema general de descomponer un movimiento de rotación en tres movimientos compuestos sobre ejes intrínsecos fue estudiado por P. Davenport, bajo el nombre de "ángulos de Euler generalizados", pero posteriormente fueron llamados "ángulos de Davenport" por M. Shuster y L. Markley.M. Shuster and L. Markley, Generalization of Euler angles, Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 51, No. 2, April–June 2003, pp. 123–123
El problema general consiste en obtener la descomposición matricial de una rotación cualquiera dados tres ejes conocidos. En algunos casos se repite uno de los ejes. Es equivalente a un problema de descomposición de matrices.J. Wittenburg, L. Lilov, Decomposition of a finite rotation in three rotations about given axes
Davenport demostró que se puede lograr descomponer cualquier orientación mediante la sucesión de tres rotaciones elementales utilizando ejes no ortogonales. Las rotaciones elementales pueden darse respecto a los ejes del sistema de coordenadas fijo (rotaciones extrínsecas) o sobre los ejes de un sistema de coordenadas giratorio, que inicialmente se alinea con el sistema de ejes fijo y modifica su orientación después de cada rotación elemental (rotaciones intrínsecas).
Según el teorema de Davenport, es posible una descomposición única si y solo si el segundo eje es perpendicular a los otros dos ejes. Por lo tanto, los ejes 1 y 3 deben estar en el plano ortogonal al eje 2.
En consecuencia, las descomposiciones de las rotaciones encadenadas de Euler y de las rotaciones encadenadas de Tait-Bryan son casos particulares de esta configuración general. El caso de Tait-Bryan aparece cuando los ejes 1 y 3 son perpendiculares, y el caso de Euler aparece cuando se superponen.
Sistema completo de rotaciones
miniaturadeimagen|centro|x200px|Imagen 1: Los ejes principales de un avión(Coordenadas intrínsecas o locales)miniaturadeimagen|centro|x200px|Imagen 2: Avión sobre un plano horizontal(Coordenadas extrínsecas o del espacio) Se dice que un conjunto de rotaciones de Davenport está completo si es suficiente para generar cualquier rotación del espacio por composición. Hablando en términos matriciales, está completo si puede generar cualquier matriz ortonormal del espacio, cuyo determinante sea +1. Debido a la no conmutatividad del producto matricial, el sistema de rotación debe estar ordenado.
A veces el orden es impuesto por la geometría del problema subyacente. Por ejemplo, cuando se usa para vehículos, que tienen un eje en particular que apunta a la dirección "hacia adelante", solo una de las seis combinaciones posibles de rotaciones es útil. Para el caso general de una aeronave, que se puede desplazar libremente por el espacio tridimensional, la composición más interesante es la que puede determinar el rumbo y la elevación, con una rotación independiente para cada uno de ellos. Existe una tercera rotación, el balanceo, que marca la inclinación del eje de las alas.
Desde el punto de vista de terminológico, existen numerosos sinónimos que expresan estos tres conceptos, procedentes de campos tan distintos como la náutica, la aviación o el automovilismo. Para evitar ambigüedades, a partir de ahora solo se van a utilizar tres términos exclusivamente: rumbo, elevación y balanceo. Rumbo: indica el ángulo que forma la orientación del eje longitudinal de un vehículo respecto a una línea de referencia determinada, normalmente un eje horizontal orientado hacia el norte. Términos que expresan un concepto similar son azimut (procedente de la astronomía y la topografía); guiñada (procedente de la náutica); y deriva (utilizado en física). Elevación: indica el ángulo que forma el eje longitudinal de un vehículo con respecto a un plano fijo, generalmente horizontal. Términos relacionados son inclinación (utilizado en geometría); pendiente (geometría e ingeniería);ángulo zenital (astronomía y topografía); y cabeceo (náutica). Balanceo: indica el ángulo que forma un eje horizontal y perpendicular al eje longitudinal de un vehículo (por ejemplo, el que une las puntas de las alas de un avión), con respecto a un plano horizontal. Otros términos como peralte (ingeniería), alabeo (geometría y física); abatimiento (náutica); escora (náutica); o tonel (aeronáutica), expresan conceptos similares.
En la práctica, la variación de cualquiera de estas tres direcciones, implica la existencia de un eje desde el que se materializa la correspondiente rotación: Eje de rotación R para variar el rumbo: (-Z) es un eje perpendicular al plano formado por el eje longitudinal y el eje de las alas del avión. Eje de rotación E para variar la elevación: (Y) coincide con el eje de las alas del avión. Eje de rotación B para variar el balanceo: (X) coincide con el eje longitudinal del avión.
En el dibujo adyacente, la composición de rumbo, elevación y balanceo (REB) permite el ajuste de la dirección de una aeronave con los dos primeros ángulos. Una composición diferente, como RBE, permitiría establecer la dirección del eje de las alas, lo que obviamente no es útil en la mayoría de los casos.
Rotaciones en cadena de Tait-Bryan Las rotaciones de Tait-Bryan son un caso especial en el que el primer y el tercer ejes son perpendiculares entre sí. Suponiendo un sistema de referencia fijo en el espacio <x,y,z> con una convención de ejes como en la Imagen 2; y una aeronave con ejes locales de <rumbo, elevación, balanceo>, inicialmente coincidentes con los del plano horizontal <x, y> como en la Imagen 1. Después de realizar rotaciones intrínsecas R, E y B según los ejes de rumbo, elevación y balanceo (en este orden), se obtiene una situación similar a la mostrada en la Imagen 3.
miniaturadeimagen|Imagen 3: Ángulos de rumbo, elevación y balanceo, resultantes de realizar rotaciones según los ejes (Z-Y’-X’’)
En la situación de partida: El eje de la rotación que cambia el ángulo de balanceo coincide con el eje x del sistema de referencia fijo El eje de la rotación que cambia el ángulo de elevación coincide en el eje y del sistema de referencia fijo El eje de la rotación que cambia el ángulo del rumbo coincide con el eje z del sistema de referencia fijo
Las rotaciones se aplican con el orden siguiente: rumbo (), elevación () y balanceo (). En estas condiciones, la orientación del eje longitudinal de la aeronave (ángulo en el plano horizontal) será igual a la variación de rumbo aplicada, y su inclinación coincidirá con el cambio de elevación introducido.
Las expresiones matriciales para las tres rotaciones de Tait-Bryan en 3 dimensiones son:
La matriz de las rotaciones compuestas es
De las seis combinaciones posibles del orden en el que se pueden aplicar sucesivamente los giros de rumbo, elevación y balanceo, es esta precisamente la única que permite que la orientación del eje longitudinal de la aeronave coincida directamente con dos de las rotaciones: la del rumbo (aplicada según el eje z), y la de la elevación (aplicada según el eje y).
Rotaciones encadenadas de Euler
Las rotaciones de Euler aparecen como el caso especial en el que el primer y el tercer ejes de rotación se superponen. Están relacionadas con los ángulos de Euler propios, que se pensaron para estudiar el movimiento de un cuerpo rígido, como un planeta. El ángulo para definir la dirección del eje de balanceo normalmente se denomina "longitud del eje de revolución" o "longitud de la línea de nodos" en lugar de rumbo, lo que no tiene sentido para un planeta.
De todos modos, las rotaciones de Euler todavía se pueden usar cuando se habla de un vehículo, aunque tendrán una configuración extraña. Como el eje vertical es el origen de los ángulos, se denomina "inclinación" en lugar de "elevación". Como antes, al describir el comportamiento de un vehículo, hay un eje que se considera que apunta hacia adelante y, por lo tanto, solo será útil una de las posibles combinaciones de rotaciones.
La combinación depende de cómo se tomen los ejes y de cuál es la posición inicial del plano. Usando el del dibujo y combinando las rotaciones de manera que se repita un eje, solo balanceo-inclinación-balanceo permitirá controlar la longitud y la inclinación con una rotación cada una.
Las tres matrices a multiplicar son:
En esta convención, Balanceo1 impone el "rumbo", la inclinación (complementaria de la elevación) determina la propia "inclinación" y Balanceo2 impone el "balanceo".
Conversión a rotaciones extrínsecas
Las rotaciones de Davenport se estudian generalmente como una composición de rotaciones intrínsecas, debido a la importancia de los ejes fijados a un cuerpo en movimiento, pero se pueden convertir en una composición de rotaciones extrínseca, en caso de que sea más intuitiva.
Cualquier rotación extrínseca es equivalente a una rotación intrínseca por los mismos ángulos pero con un orden invertido de rotaciones elementales, y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z″ según los ángulos α, β, γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas z-y-x por los ángulos γ, β, α. Ambos están representados por una matriz
si se usa R para multiplicar previamente los vectores columna, y por una matriz
si R se utiliza para multiplicar vectores fila posteriormente. Véase ambigüedades en la definición de matrices de rotación para más detalles.
Relación con los movimientos físicos
Rotaciones intrínsecas
Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que se producen alrededor de los ejes del sistema de coordenadas de rotación XYZ, que cambia su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ gira, mientras que xyz permanece en reposo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz, se puede usar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación de destino para XYZ. Los ángulos de Euler o Tait-Bryan (α, β, γ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación deseada se puede alcanzar de la siguiente manera:
El sistema XYZ gira en α sobre el eje Z (que coincide con el eje z). El eje X ahora se encuentra en la línea de nodos. El sistema XYZ gira sobre el eje X ahora girado por β. El eje Z está ahora en su orientación final, y el eje X permanece en la línea de nodos. El sistema XYZ gira una tercera vez sobre el nuevo eje Z por γ.