En mecánica, un torsor (del francés torseur) es un elemento del cálculo algebraico que consiste en un pares de vectores, como fuerzas y momentos o velocidad angular y lineal, que surgen en la mecánica del sólido rígido. El término similar torsor también es usado en geometría algebraica para definir un fibrado principal.
El marco matemático fue desarrollado en 1876 por Robert Stawell Ball (1840-1913) para su aplicación en cinemática y estática de cuerpos rígidos.
Proporciona una formulación matemática para la geometría lineal que sirve de fundamento para la mecánica del sólido rígido, donde las rectas forman los ejes de torsión del movimiento espacial y las líneas de acción de las fuerzas. El par de vectores que forman las coordenadas plückerianas de una recta, define un torsor unitario, y los torsores generales se obtienen mediante la multiplicación de un par de números reales y la adición de vectores. Estos elementos numéricos, asimilables a bivectores, se van a denominar en el presente artículo torsores.
Un resultado importante es que los cálculos geométricos con puntos ligados a vectores poseen cálculos geométricos paralelos para las líneas obtenidas al reemplazar vectores por torsores. Este hecho se denomina el principio de transferencia.
Los torsores se han convertido en una herramienta importante en la robótica, en el diseño mecánico, en la geometría computacional y en los sistemas multicuerpo.
Esto se debe en parte a la relación entre los torsores y los cuaterniones duales, utilizados para interpolar el movimiento de un cuerpo rígido.Selig, J. M. (2011) "Rational Interpolation of Rigid Body Motions," Advances in the Theory of Control, Signals and Systems with Physical Modeling, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Volume 407/2011 213–224, Springer. Basándose en la torsores, también se ha desarrollado un enfoque eficiente para la síntesis de tipos de mecanismos paralelos (manipuladores paralelos o robots paralelos).
Los teoremas fundamentales incluyen el teorema de Poinsot (Louis Poinsot, 1806) y el teorema de Chasles (Michel Chasles, 1832).
Felix Klein vio los torsores como una aplicación de la geometría elíptica, ligada a su Programa de Erlangen.Felix Klein (1902) (D.H. Delphenich translator) On Sir Robert Ball's Theory of Screws También elaboró una geometría elíptica y una nueva visión de la geometría euclidiana con la métrica de Cayley-Klein
Harvey Lipkin describió el uso de una matriz simétricaHarvey Lipkin (1983) Metrical Geometry del Instituto de Tecnología de Georgia para definir una cónica de von Staudt y una métrica, aplicados a los torsores. Otros autores con aportaciones destacadas incluyen a Julius Plücker, W. K. Clifford, F. M. Dimentberg, Kenneth H. Hunt, y J. R. Phillips.Clifford, William Kingdon (1873), "Preliminary Sketch of Biquaternions", Paper XX, Mathematical Papers, p. 381.
Conceptos básicos
Un desplazamiento espacial de un cuerpo rígido puede definirse por una rotación alrededor de una recta y una traslación sobre la misma recta, llamado desplazamiento torsorial. Esto se conoce como el teorema de Chasles. Los seis parámetros que definen el desplazamiento torsorial son los cuatro componentes independientes del vector de Plücker que definen el eje de la hélice, junto con el ángulo de rotación alrededor y el deslizamiento lineal paralelo al eje, y forman un par de vectores llamado torsor. Análogamente, los seis parámetros que definen un desplazamiento espacial también pueden ser dados por los tres ángulos de Euler que definen la rotación y los tres componentes del vector de traslación.
Torsor Un torsor es un vector de seis dimensiones construido a partir de un par de vectores de tres dimensiones, como la fuerza y la velocidad lineal y angular, que surgen en el estudio del movimiento espacial de un cuerpo rígido. Las componentes de un torsor definen las coordenadas plückerianas de una recta en el espacio y las magnitudes del vector en la recta y su momento.
Torsor estático Los vectores de fuerza y momento de fuerza que surgen al aplicar las leyes de Newton a un cuerpo rígido se pueden asociar en un torsor llamado torsor estático. Una fuerza tiene un punto de aplicación y una línea de acción, por lo tanto, define las coordenadas plückerianas de una línea en el espacio, y tiene un paso cero. Un par de torsión, por otro lado, es un momento puro que no está vinculado a una recta en el espacio y es un torsor de paso infinito. La relación de estas dos magnitudes define el paso del torsor.
Torsor cinemático Un torsor cinemáticorepresenta la velocidad de un cuerpo rígido como una velocidad angular alrededor de un eje y una velocidad lineal en este eje. Todos los puntos en el cuerpo tienen la misma componente de la velocidad sobre el eje, sin embargo, cuanto mayor sea la distancia al eje, mayor será la velocidad en el plano perpendicular a este eje. Por lo tanto, el campo torsorial formado por los vectores de velocidad en un cuerpo rígido en movimiento se aplana a medida que los puntos se separan radialmente del eje de torsión.
Los puntos en un cuerpo sometidos a un movimiento de torsor constante describen trayectorias torsorial respecto a un marco fijo. Si este movimiento de torsorial tiene un paso cero, las trayectorias trazan círculos, y el movimiento es una rotación pura. Si el movimiento del torsor tiene un paso infinito, entonces todas las trayectorias son líneas rectas en la misma dirección, y se trata de una traslación.
Álgebra de torsores Sea un torsor un par ordenado con la forma
donde S y V son vectores reales tridimensionales. La suma y la diferencia de estos pares ordenados se calculan por componentes. Los torsores a menudo se llaman vectores duales.
Ahora, introdúzcase el par ordenado de números reales â = (a, b) llamados escalares duales. Que la suma y la resta de estos números sean componentes y définase la multiplicación como
La multiplicación de un torsor S = (S, V) por el escalar dual â = (a, b) se calcula en forma de componentes para que sea,
Finalmente, se introducen los productos escalar y vectorial de torsores mediante las fórmulas:
que es un doble escalar, y
que es un torsor. Los productos escalar y vectorial de torsores satisfacen las identidades del álgebra vectorial, y permiten cálculos que son directamente análogos a los cálculos en el álgebra de vectores.
Sea el escalar dual ẑ = (φ, d) que define un ángulo dual, entonces las definiciones de series infinitas de seno y coseno producen las relaciones
En general, la función de una variable dual se define como f(ẑ) = (f(φ), df′(φ)), donde f′(φ) es la derivada de f(φ).
Estas definiciones permiten obtener los siguientes resultados: Los torsores unitarios son las coordenadas plückerianas de una recta y satisfacen la relación
Sea ẑ = (φ, d) el ángulo dual, donde φ es el ángulo entre los ejes de S y T alrededor de su normal común, y d es la distancia entre estos ejes respecto a la normal común, entonces
Sea N el torsor unitario que define la normal común a los ejes de S y T, y ẑ = (φ, d) es el ángulo dual entre estos ejes, entonces
Torsor estático Un ejemplo común de un torsor es el torsor estático asociado con una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Sea P el punto de aplicación de la fuerza F y sea P el vector que ubique este punto en un marco fijo. El torsor cinemático W = (F, P × F) es un torsor. La fuerza y el momento resultantes obtenidos de todas las fuerzas Fi i = 1, ..., n, actuando sobre un cuerpo rígido es simplemente la suma de los torsores cinemáticos individuales Wi, es decir
Obsérvese que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F' y -F que actúan en los puntos A y B, respectivamente, produce el resultado
Esto demuestra que los torsores de la forma
se pueden interpretar como momentos puros.
Torsor cinemático Para definir el torsor cinemático de un cuerpo rígido, se debe considerar su movimiento definido por el conjunto parametrizado de desplazamientos espaciales, D(t) = ([A(t)], d'(t)), donde [A] es una matriz de rotación y d es un vector de traslación. Esto genera un punto p que se asocia a las coordenadas del cuerpo en movimiento para trazar una curva P(t) en el marco fijo dado por
La velocidad de P es
donde v es la velocidad del origen del marco en movimiento, que es dd/dt. Ahora sustituyendo p=[AT] (P-d) en esta ecuación, se obtiene
donde [Ω] = [dA/dt] [AT] es la matriz de velocidad angular y ω es el vector de velocidad angular.
El torsor
es el torsor cinemático del cuerpo en movimiento. El vector V = v + dxω es la velocidad del punto en el cuerpo que corresponde con el origen del marco fijo.
Hay dos casos especiales importantes: (i) cuando d es constante, es decir v = 0, entonces el torsor cinemático es una rotación pura alrededor de una línea, entonces el torsor cinemático es
y (ii) cuando [Ω] = 0, es decir, el cuerpo no gira sino que solo se desliza en la dirección v, entonces el torsor cinemático es un deslizamiento puro dado por
Articulaciones Para un articulación, el eje de rotación pasa por el punto q y se dirija a lo largo del vector ω. Entonces, el torsor cinemático de la articulación viene dado por
Correderas Para una corredera, el vector v define la dirección de deslizamiento, luego el torsor cinemático de la junta viene dado por
Transformación de coordenadas Las transformaciones de coordenadas para los torsores se entienden fácilmente a partir de las transformaciones de coordenadas plückerianas del vector de una recta, que a su vez se obtienen de las transformaciones de las coordenadas de puntos de la recta.
Considérese que el desplazamiento de un cuerpo está definido por D=([A], d), donde [A] es la matriz de rotación y d es el vector de traslación. La recta en el cuerpo definida por los dos puntos p y q, tiene las coordenadas plückerianas
Entonces, en el marco fijo, se obtienen las coordenadas del punto transformado P = [A] p + d y Q = [A] q + d, que producen
Por lo tanto, un desplazamiento espacial define una transformación para las coordenadas plückerianas de las rectas dadas por
La matriz [D] es la matriz simétrica oblicua que realiza la operación del producto cruzado, es decir [D]y=dxy.
La matriz de orden 6×6 obtenida a partir del desplazamiento espacial D = ([A], d) se puede ensamblar en la matriz dual
que opera en un torsor s = (s.v) para obtener
La matriz dual [Â] = ([A], [DA]) tiene determinante 1 y se denomina matriz ortogonal dual.
Torsores como elementos de un álgebra de Lie Considérese el movimiento de un cuerpo rígido definido por la transformada homogénea parametrizada de orden 4x4,
Esta notación no distingue entre P = (X, Y, Z, 1), y P = (X, Y, Z), algo esperable en este contexto.
La velocidad de este movimiento se define al calcular la velocidad de las trayectorias de los puntos en el cuerpo,
El punto denota la derivada con respecto al tiempo, y debido a que p es constante, su derivada es cero.
Sustituyendo la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad, se obtiene la velocidad de P operando en su trayectoria P(t), es decir
donde
Se debe recordar que [Ω] es la matriz de velocidad angular, y que la matriz [S] es un elemento del álgebra de Lie se(3) del grupo de Lie SE(3) de transformaciones homogéneas. Los componentes de [S] son los componentes del torsor cinemático y por esta razón [S] a menudo también se llama giro.
A partir de la definición de la matriz [S], se puede formular la ecuación diferencial ordinaria
y hallar el movimiento [T (t)] que tiene un torsor cinemático constante [S]. La solución es la matriz exponencial
Esta formulación puede generalizarse de manera tal que, dada una configuración inicial g(0) en SE(n), y un torsor cinématico ξ en se(n), la transformación homogénea a una nueva ubicación y orientación se puede calcular con la fórmula
donde θ representa los parámetros de la transformación.
Torsores por reflexión