En teoría de la probabilidad y estadística, los cumulantes de una distribución de probabilidad son un conjunto de cantidades que proporcionan una alternativa a los momentos de una distribución.
Los momentos determinan los cumulantes en el sentido de que dadas dos distribuciones de probabilidad cuyos momentos sean idénticos, también tendrán cumulantes idénticos, y de manera similar, los cumulantes determinan los momentos.
El primer cumulante es la media, el segundo cumulante es la varianza, y el tercer cumulante es el mismo que el tercer momento central. Pero los cumulantes de cuarto orden o superiores no son iguales a los momentos centrales. En algunos casos, los tratamientos teóricos de los problemas en términos de cumulantes son más simples que los que usan momentos. En particular, cuando dos o más variables aleatorias son independientes, el cumulante de orden nésimo de su suma es igual a la suma de sus cumulantes de orden nésimo. Además, los cumulantes de tercer y mayor orden de una distribución normal son cero, siendo la única distribución con esta propiedad.
Al igual que para los momentos, donde se utilizan momentos conjuntos cuando se trabaja con múltiples variables aleatorias, es posible definir cumulantes conjuntos.
Definición Los cumulantes de una variable aleatoria se definen utilizando la función de generación de cumulantes , que es el logaritmo natural de la función generadora de momentos:
Los cumulantes se obtienen de una expansión en serie de potencias de la función de generación del cumulante:
Esta expansión es una serie de Taylor, por lo que el -ésimo cumulante se puede obtener al diferenciar veces la expansión anterior e igualar el resultado a cero:Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html
Si la función que genera el momento no existe, los cumulantes se pueden definir en términos de una relación con los propios momentos, que se analiza más adelante.
Definición alternativa de la función de generación de cumulantes Algunos autoresKendall, M. G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27) prefieren definir la función de generación de cumulantes como el logaritmo natural de la función característica, que a veces también se denomina la función característica segunda:Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)
Una ventaja de (en cierto sentido, la función evaluada para argumentos puramente imaginarios), es que está bien definida para todos los valores reales de , incluso cuando no está bien definido para todos los valores reales de , como puede ocurrir cuando hay demasiada probabilidad de que tenga una gran magnitud. Aunque la función estará bien definida, no obstante, se asemejará a en términos de la longitud de su serie de Taylor, que puede no extenderse más allá (o, rara vez, incluso a) el orden lineal en el argumento , y en particular el número de Los cumulantes que están bien definidos no cambiará. Sin embargo, incluso cuando no tiene una serie larga de Maclaurin, puede usarse directamente para analizar y, particularmente, para agregar variables aleatorias. Tanto la distribución de Cauchy (también llamada Lorentziana) como, en general, las distribuciones estables (relacionadas con la distribución de Lévy) son ejemplos de distribuciones para las cuales las expansiones de las funciones de generación de la serie de potencias tienen solo finamente muchos términos bien definidos.
Usos en estadística Trabajar con cumulantes puede tener una ventaja sobre el uso de momentos, porque para las variables aleatorias estadísticamente independientes y ,
de modo que cada cumulante de una suma de variables aleatorias independientes, es la suma de los correspondientes cumulantes de los sumandos. Es decir, cuando los sumandos son estadísticamente independientes, la media de la suma es la suma de las medias, la varianza de la suma es la suma de las varianzas, el tercer cumulante (que es el tercer momento central) de la suma es la suma de los terceros cumulantes, y así sucesivamente para cada orden de cumulante.
Una distribución con los cumulantes dados se puede aproximar a través de una expansión de Edgeworth.
Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas Las variables aleatorias constantes . La función de generación acumulada es . El primer cumulante es y los otros cumulantes son cero, . Las distribuciones de Bernouilli, (número de éxitos en una prueba con probabilidad de éxito). La función de generación acumulada es . Los primeros cumulantes son y . Los cumulantes satisfacen una fórmula de recursión.
Las distribuciones geométricas, (número de fallos antes de un éxito con probabilidad de éxito en cada prueba). La función de generación acumulada es . Los primeros cumulantes son y . Sustituyendo resulta y . Las distribuciones de Poisson. La función de generación acumulada es . Todos los cumulantes son iguales al parámetro: . Las distribuciones binomiales, (número de éxitos en pruebas independientes, con probabilidad de éxito en cada prueba). El caso especial es una distribución de Bernoulli. Cada cumulante es exactamente veces el correspondiente cumulante de la distribución de Bernoulli considerada. La función de generación acumulada es . Los primeros cumulantes son y . Sustituyendo da y . El caso límite es una distribución de Poisson. Las distribuciones binomiales negativas, (número de fallos antes de n éxitos, con probabilidad p de éxito en cada prueba). El caso especial es una distribución geométrica. Cada cumulante es exactamente n veces el correspondiente cumulante de la distribución geométrica considerada. La derivada de la función de generación acumulativa es K '(t) = n· ((1 - p)−1· e−t −1) −1. Los primeros cumulantes son κ1 = K '(0) = n· (p−1 − 1), y κ2 = K ' '(0) = κ1· p−1. Sustituyendo p = (μ · n−1 + 1) −1 da y . La comparación de estas fórmulas con las de las distribuciones binomiales explica el nombre de distribución binomial negativa. El caso límite es una distribución de Poisson.
Introduciendo la relación varianza-media
las distribuciones de probabilidad anteriores proporcionan una fórmula unificada para la derivada de la función de generación acumulativa:
La segunda derivada es
confirmando que el primer cumulante es y el segundo cumulante es . Las variables aleatorias constantes tienen . Las distribuciones binomiales tienen para que . Las distribuciones de Poisson tienen . Las distribuciones binomiales negativas tienen para que . Nótese la analogía con la clasificación de las secciones cónicas según su excentricidad: círculos , elipses , parábolas , e hipérbolas .
Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad continua Para la distribución normal con esperanza matemática μ y varianza σ2, la función de generación de cumulantes es K(t) = μt + σ2t2 / 2. La primera y la segunda derivadas de la función de generación de cumulantes son K '(t) = μ + σ2·t y K (t) = σ2.
Los cumulantes son κ1 = μ, κ2 = σ2, y κ3 = κ4 = ... = 0. El caso especial σ2 = 0 es una variable aleatoria constante X = μ. Los cumulantes de la distribución uniforme en el intervalo [−1, 0] son κn = Bn / n, donde Bn es el n-ésimo número de Bernoulli. Los cumulantes de la distribución exponencial con el parámetro λ son κn = λ−n (n - 1)!.
Algunas propiedades de la función de generación de cumulantes La función de generación de cumulantes K (t), si existe, es una función continuamente diferenciable y convexa, y pasa a través del origen. Su primera derivada varía monótonamente en el intervalo abierto desde el ínfimo al supremo del soporte de la distribución de probabilidad, y su segunda derivada es siempre estrictamente positiva, excepto en el caso de la distribución degenerada de una sola masa puntual. La función de generación de cumulantes existe si y solo si las colas de la distribución son mayoradas por un decaimiento exponencial, es decir, (véase cota superior asintótica )
donde es la función de distribución. La función de generación de cumulantes tendrá asíntota(s) en el ínfimo de tal c, si existe tal ínfimo, y en el supremo de tal d, si existe tal supremo, de lo contrario será definido para todos los números reales.
Si el soporte de una variable aleatoria X tiene límites finitos superiores o inferiores, entonces su función de generación de cumulantes y = K (t), si existe, se acerca a la asíntota(s) cuya pendiente es igual al supremo y/o al mínimo del soporte,
respectivamente, siempre por encima de estas dos líneas. (Las integrales
proporcionan la intersección con el eje y de estas asíntotas, ya que K(0) = 0).
Para un desplazamiento de la distribución de valor c, Para una masa puntual degenerada en c, la función generadora de cumulantes es la línea recta , y más generalmente, si y solo si X e Y son independientes y sus funciones generadoras de cumulantes existen; (la subindependencia y la existencia de segundos momentos son suficientes para implicar la independencia).
La familia exponencial natural de una distribución puede realizarse cambiando o trasladando K(t), y ajustándolo verticalmente para que siempre pase por el origen: si f es la serie de potencias con función generadora de cumulantes y es su familia exponencial natural, entonces y
Si K(t) es finito para un rango t1 < Re(t) < t2, entonces si t1 < 0 < t2 entonces K(t) es analítica e infinitamente diferenciable para t1 < Re(t) < t2. Además, para t real y t1 < t < t2 K(t) es estrictamente convexo, y K' (t) es estrictamente creciente.
Algunas propiedades de los cumulantes
Invarianza y equivarianza El primer cumulante es equivariante y todos los demás son invariantes. Esto significa que, si se denota con κn (X) el n-ésimo cumulante de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, entonces para cualquier constante c:
En otras palabras, cambiar una variable aleatoria (agregando c) cambia el primer cumulante (la media) y no afecta a ninguno de los otros.
Homogeneidad El n-ésimo cumulante es homogéneo de grado n, es decir, si c es una constante, entonces
Aditividad Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces .
Resultado negativo Dados los resultados para los cumulantes de la distribución normal, podría esperarse encontrar familias de distribuciones para las cuales para algunos , con los cumulantes de orden inferior (órdenes 3 a ) que no son cero. No existen tales distribuciones.Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5) El resultado subyacente aquí es que la función de generación de cumulantes no puede ser un polinomio de orden finito de grado mayor que 2.
Cumulantes y momentos La función generadora de momentos viene dada por:
Así que la función de generación de cumulantes es el logaritmo de la función de generación de momentos
El primer cumulante es la esperanza matemática; el segundo y tercer cumulantes son, respectivamente, el segundo y el tercer momento central (el segundo momento central es la varianza); pero los cumulantes superiores no son ni momentos ni momentos centrales, sino más bien funciones polinomiales más complicadas de los momentos.
Los momentos se pueden recuperar en términos de cumulantes mediante la evaluación de la n-ésima derivada de en .
Del mismo modo, los cumulantes se pueden recuperar en términos de momentos mediante la evaluación de la n-ésima derivada de en ,
La expresión explícita para el momento n-ésimo en términos de los primeros n cumulantes, y viceversa, se puede obtener utilizando la fórmula de Faà di Bruno para derivadas más altas de funciones compuestas. En general, se tiene que
donde son polinomios de Bell incompletos (o parciales).