Un gráfico de flujo de señal ( SFG ), inventado por Claude Shannon, pero a menudo llamado gráfico de Mason en honor a Samuel Jefferson Mason quien acuñó el término, es un diagrama de flujo especializado, un grafo dirigido en el cual los nodos representan variables del sistema y las ramas (aristas, arcos o flechas) representan conexiones funcionales entre pares de nodos. Por lo tanto, la teoría de los gráficos de flujo de señales se basa en la de los gráficos dirigidos (también llamados dígrafos), que incluye también la de los gráficos orientados. Esta teoría matemática de los dígrafos existe, por supuesto, bastante aparte de sus aplicaciones.i
Los SFG se usan más comúnmente para representar el flujo de señal en un sistema físico y su(s) controlador(es), formando un sistema ciberfísico. Entre sus otros usos está la representación del flujo de señal en varias redes electrónicas y amplificadores, filtros digitales, filtros de estado variable y algunos otros tipos de filtros analógicos. En casi toda la literatura, un gráfico de flujo de señal está asociado con un conjunto de ecuaciones lineales.
Historia Wai-Kai Chen escribió: "El concepto de un gráfico de flujo de señal fue originalmente desarrollado por Shannon al tratar con computadoras analógicas. El mayor crédito para la formulación de gráficos de flujo de señal normalmente se extiende a Mason , . On-line version found at MIT Research Laboratory of Electronics. Mostró cómo usar la técnica de gráfico de flujo de señal para resolver algunos problemas electrónicos difíciles de una manera relativamente simple. El término gráfico de flujo de señal se usó debido a su aplicación original a problemas electrónicos y la asociación con señales electrónicas y diagramas de flujo de los sistemas en estudio ".
Lorens escribió: "Anterior al trabajo de Mason , CE Shannon desarrolló una serie de propiedades de lo que ahora se conoce como gráficos de flujo. Desafortunadamente, el paper originalmente tenía una clasificación restringida y muy pocas personas tenían acceso al material ".
"Las reglas para la evaluación de la gráfica determinante de una Mason Graph fueron dadas y probadas por Shannon utilizando inducción matemática. Su obra permaneció esencialmente desconocida incluso después de que Mason publicara su obra clásica en 1953. Tres años más tarde, Mason redescubrió las reglas y las probó considerando el valor de un determinante y cómo cambia a medida que las variables se agregan a la gráfica. [...] "
Dominio de aplicación Robichaud et al. identifique el dominio de aplicación de los SFG de la siguiente manera:
"Todos los sistemas físicos análogos a estas redes [construidos con transformadores ideales, elementos activos y giradores] constituyen el dominio de aplicación de las técnicas desarrolladas [aquí]. Trent ha demostrado que todos los sistemas físicos que satisfacen las siguientes condiciones entran en esta categoría.
El sistema concentrado finito está compuesto por varias partes simples, cada una de las cuales tiene propiedades dinámicas conocidas que pueden definirse mediante ecuaciones que utilizan dos tipos de variables escalares y parámetros del sistema. Las variables del primer tipo representan cantidades que pueden medirse, al menos conceptualmente, al unir un instrumento indicador a dos puntos de conexión del elemento. Las variables del segundo tipo caracterizan cantidades que pueden medirse conectando un medidor en serie con el elemento. Las velocidades y posiciones relativas, los diferenciales de presión y los voltajes son cantidades típicas de la primera clase, mientras que las corrientes eléctricas, las fuerzas y las tasas de flujo de calor son variables del segundo tipo. Firestone ha sido el primero en distinguir estos dos tipos de variables con los nombres de las variables y las variables . Las variables del primer tipo deben obedecer a una ley de malla, análoga a la ley de voltaje de Kirchhoff, mientras que las variables del segundo tipo deben satisfacer una ley de incidencia análoga a la ley actual de Kirchhoff. Las dimensiones físicas de los productos apropiados de las variables de los dos tipos deben ser consistentes. Para los sistemas en los que se satisfacen estas condiciones, es posible dibujar un gráfico lineal isomorfo con las propiedades dinámicas del sistema según lo descrito por las variables elegidas. Las técnicas [...] se pueden aplicar directamente a estos gráficos lineales, así como a las redes eléctricas, para obtener un gráfico de flujo de señal del sistema ".
Conceptos básicos del diagrama de flujo Mason introdujo la siguiente ilustración y su significado para ilustrar conceptos básicos: derecha|miniaturadeimagen|400x400px| (a) Gráfico de flujo simple, (b) Las flechas de (a) incidente en el nodo 2 (c) Las flechas de (a) incidente en el nodo 3 En los diagramas de flujo simples de la figura, la dependencia funcional de un nodo se indica mediante una flecha entrante, el nodo que origina esta influencia es el comienzo de esta flecha y, en su forma más general, el gráfico de flujo de señal indica mediante flechas entrantes solo aquellos nodos que influyen en el procesamiento en el nodo receptor, y en cada nodo, i , las variables entrantes se procesan de acuerdo con una función asociada con ese nodo, digamos Fi. El diagrama de flujo en (a) representa un conjunto de relaciones explícitas:
El nodo x1 es un nodo aislado porque no hay flechas entrantes; las ecuaciones para x2 y x3 tienen las gráficas que se muestran en las partes (b) y (c) de la figura.
Estas relaciones definen para cada nodo una función que procesa las señales de entrada que recibe. Cada nodo no fuente combina las señales de entrada de alguna manera y transmite una señal resultante a lo largo de cada rama saliente. "Un gráfico de flujo, como lo definió originalmente Mason, implica un conjunto de relaciones funcionales, lineales o no".
Sin embargo, el gráfico de Mason que se usa comúnmente es más restringido, asumiendo que cada nodo simplemente suma sus flechas entrantes y que cada rama involucra solo al nodo iniciador involucrado. Por lo tanto, en este enfoque más restrictivo, el nodo x 1 no se ve afectado mientras:
y ahora las funciones fij pueden asociarse con las ramas de flujo de señal ij uniendo el par de nodos xi, xj, en lugar de tener relaciones generales asociadas con cada nodo. Una contribución de un nodo a sí mismo como f33 para x3 se llama un auto-bucle. Con frecuencia, estas funciones son simplemente factores multiplicativos (a menudo llamados transmitancias o ganancias ), por ejemplo, fij (xj) = cij xj , donde c es un escalar, pero posiblemente una función de algún parámetro como la variable de transformación de Laplace s. Los gráficos de flujo de señal se usan muy a menudo con señales transformadas con Laplace, y en este caso la transmitancia, c(s), a menudo se denomina función de transferencia.
Escogiendo las variables
No singularidad Robichaud et al. escribió: "El gráfico de flujo de señal contiene la misma información que las ecuaciones de las que se deriva; pero no existe una correspondencia uno a uno entre el gráfico y el sistema de ecuaciones. Un sistema dará diferentes gráficos según el orden en que se usan las ecuaciones para definir la variable escrita en el lado izquierdo." Si todas las ecuaciones relacionan todas las variables dependientes, entonces hay n! posibles SFGs para elegir.
Gráficos de flujo de señal lineales Los métodos de gráfico de flujo de señal lineal solo se aplican a sistemas invariantes en el tiempo lineal, según lo estudiado por su teoría asociada. Cuando se modela un sistema de interés, el primer paso a menudo es determinar las ecuaciones que representan la operación del sistema sin asignar causas y efectos (esto se denomina modelado acausal). Un SFG se deriva entonces de este sistema de ecuaciones.
Un SFG lineal consiste en nodos indicados por puntos y ramas direccionales ponderadas indicadas por flechas. Los nodos son las variables de las ecuaciones y los pesos de rama son los coeficientes. Las señales solo pueden atravesar una rama en la dirección indicada por su flecha. Los elementos de un SFG solo pueden representar las operaciones de multiplicación por un coeficiente y una suma, que son suficientes para representar las ecuaciones restringidas. Cuando una señal atraviesa una rama en la dirección indicada, la señal se multiplica por el peso de la rama. Cuando dos o más ramas se dirigen al mismo nodo, se agregan sus salidas.
Para los sistemas descritos por ecuaciones lineales algebraicas o diferenciales, el gráfico de señal-flujo es matemáticamente equivalente al sistema de ecuaciones que describen el sistema, y las ecuaciones que gobiernan los nodos se descubren para cada nodo sumando las ramas entrantes a ese nodo. Estas ramas entrantes transmiten las contribuciones de los otros nodos, expresadas como el valor del nodo conectado multiplicado por el peso de la rama de conexión, generalmente un número real o función de algún parámetro (por ejemplo, una variable de transformación de Laplace s).
Para las redes lineales activas, Choma escribe: "Por una 'representación de flujo de señal' [o 'gráfico', como se conoce comúnmente] nos referimos a un diagrama que, al mostrar las relaciones algebraicas entre las variables de red relevantes, dibuja una imagen inequívoca de la forma en que una señal de entrada aplicada 'fluye' de entrada a salida ... puertos".
Chen describe una motivación para un análisis de SFG:
"El análisis de un sistema lineal se reduce en última instancia a la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Como alternativa a los métodos algebraicos convencionales para resolver el sistema, es posible obtener una solución considerando las propiedades de ciertos gráficos dirigidos asociados con el sistema. Las incógnitas de las ecuaciones corresponden a los nodos de la gráfica, mientras que las relaciones lineales entre ellas aparecen en forma de bordes dirigidos que conectan los nodos. ...Los gráficos dirigidos asociados en muchos casos se pueden configurar directamente mediante la inspección del sistema físico sin la necesidad de formular primero las ecuaciones asociadas..."
Componentes básicos miniaturadeimagen| Elementos y construcciones de un gráfico de flujo de señal. Un gráfico de flujo de señal lineal está relacionado con un sistema de ecuaciones linealesSee, for example, However, there is not a one-to-one correspondence: de la siguiente forma:
donde = transmitancia (o ganancia) de a .
La figura de la derecha muestra varios elementos y construcciones de un gráfico de flujo de señal (SFG).
La exposición (a) es un nodo. En este caso, el nodo está etiquetado . Un nodo es un vértice que representa una variable o señal. Un nodo de origen solo tiene ramas salientes (representa una variable independiente). Como un caso especial, un nodo de entrada se caracteriza por tener una o más flechas adjuntas apuntando hacia afuera del nodo y ninguna flecha apuntando hacia el nodo. Cualquier SFG abierto y completo tendrá al menos un nodo de entrada. Un nodo de salida o receptor solo tiene ramas entrantes (representa una variable dependiente). Aunque cualquier nodo puede ser una salida, los nodos de salida explícitos se usan a menudo para proporcionar claridad. Los nodos de salida explícitos se caracterizan por tener una o más flechas adjuntas apuntando hacia el nodo y ninguna flecha apuntando hacia afuera del nodo. No se requieren nodos de salida explícitos. Un nodo mixto tiene ramas entrantes y salientes.
El Anexo (b) es una rama con una ganancia multiplicativa de . El significado es que la salida, en la punta de la flecha, es veces la entrada en la cola de la flecha. La ganancia puede ser una constante simple o una función (por ejemplo: una función de alguna variable de transformación, como , o , para las relaciones de transformación de Laplace, Fourier o Z).