La ecuación de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es un tipo de ecuación funcional que se puede escribir en la forma

o equivalente,

y controla la iteración de .

Equivalencia Estas ecuaciones son equivalentes. Suponiendo que es una función invertible, la segunda ecuación se puede escribir como

Tomando , la ecuación se puede escribir como

Para una función supone que se conoce, la tarea es resolver la ecuación funcional de la función , que posiblemente cumpla con requisitos adicionales, como .

El cambio de las variables , para un parámetro real , lleva la ecuación de Abel a la celebrada ecuación de Schröder, .

El cambio adicional en la ecuación de Böttcher, .

La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traducción, Aczél, János , (1966): Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , reimpreso por Dover Publications,

por ejemplo, para ,

.     (Observe .)

La función de Abel proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie (un parámetro, los grupos de Lie).

Historia Inicialmente, se informó la ecuación en la forma más general. Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial.

En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta.

Casos especiales La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con .

En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,

y así,

Soluciones

solución formal: único (a una constante) Clasificaciones de gérmenes parabólicos y propiedades fractales de las órbitas por Maja Resman, Universidad de Zagreb, Croacia soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) = aproximación por expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor del punto fijo parabólicoDudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis

Las coordenadas de Fatou describen la dinámica local de un sistema dinámico discreto cerca de un punto fijo parabólico.

Véase también

Ecuación funcional Ecuación de Schröder Ecuación de Böttcher Composiciones infinitas de funciones analíticas Función iterada Operador de turno Superfunción

Referencias

Categoría:Ecuaciones Categoría:Niels Henrik Abel