El teorema de Bell (también conocido como de Bell-Kochen-Specker) o desigualdades de Bell se aplica en mecánica cuántica para cuantificar matemáticamente las implicaciones planteadas teóricamente en la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen y permitir así su demostración experimental. Debe su nombre al científico norirlandés John S. Bell, que la presentó en 1964.
El teorema de Bell es un metateorema que muestra que las predicciones de la mecánica cuántica (MC) no son intuitivas, y afecta a temas filosóficos fundamentales de la física moderna. Es el legado más famoso del físico John S. Bell. El teorema de Bell es un teorema de imposibilidad, que afirma que:
Dadas sus implicaciones en el plano de la no localidad, supuso la consagración definitiva de la física cuántica frente a otras teorías de variables ocultas y es considerado por la mayoría de físicos del mundo como el descubrimiento más profundo de la historia de la ciencia.
Introducción thumb|300px|right|
Ilustración del test de Bell para partículas de espín 1/2. La fuente produce un par de espín singlete, una partícula se envía a Alicia y otra a Bob. Cada una mide uno de los dos espines posibles.
Como en el experimento expuesto en la paradoja EPR, Bell consideró un experimento donde una fuente produce pares de partículas entrelazadas. Por ejemplo, cuando un par de partículas con espines entrelazados es creado; una partícula se envía a Alicia y la otra a Bob. En cada intento, cada observador independientemente elige entre varios ajustes del detector y realiza una medida sobre la partícula (Nota: aunque la propiedad entrelazada utilizada aquí es el espín de la partícula, podría haber sido cualquier "estado cuántico" entrelazado que codifique exactamente un bit cuántico.)
Cuando Alicia y Bob miden el espín de la partícula a lo largo del mismo eje (pero en sentidos opuestos), obtienen resultados idénticos el 100% de las veces.
Pero cuando Bob mide en ángulos ortogonales (perpendiculares) a las medidas de Alicia, obtienen resultados idénticos únicamente el 50% de las veces.
En términos matemáticos, las dos medidas tienen una correlación de 1, o correlación perfecta cuando se miden de la misma forma; pero cuando se miden en ángulos perpendiculares, tienen una correlación de 0; es decir, ninguna correlación. (Una correlación de −1 indicaría tener resultados opuestos en cada medida.)
Mismo eje: par 1 par 2 par 3 par 4 ...n Alicia, 0°: + − − + ... Bob, 180°: + − − + ... Correlación: ( +1 +1 +1 +1 ...)/n = +1 (100% idéntica) Ejes ortogonales: par 1 par 2 par 3 par 4 ...n Alicia, 0°: + − + − ... Bob, 90°: − − + + ... Correlación: ( −1 +1 +1 −1 ...)/n = 0.0 (50% idéntica)
De hecho, los resultados pueden explicarse añadiendo variables ocultas locales - cada par de partículas podría haberse enviado con instrucciones sobre cómo comportarse según se las mida en los dos ejes (si '+' o '−' para cada eje).
Claramente, si la fuente únicamente envía partículas cuyas instrucciones sean idénticas para cada eje, entonces cuando Alicia y Bob midan sobre el mismo eje, obtendrán siempre resultados idénticos, o bien (+,+) o (−,−). Pero (si se generan por igual todos las posibles combinaciones de + y −) cuando ellos midan sobre ejes perpendiculares verán correlación cero.
Ahora, considere que Alicia o Bob pueden rotar sus aparatos de forma relativa entre ellos un ángulo cualquiera y en cualquier momento antes de medir las partículas, incluso después de que las partículas abandonen la fuente. Si las variables ocultas locales determinan el resultado de las medidas, entonces las partículas deberían codificar en el momento de abandonar la fuente los resultados de medida para cualquier posible dirección de medida, y no solo los resultados para un eje particular.
Bob comienza este experimento con su aparato rotado 45 grados. Llamamos a los ejes de Alicia y , y a los ejes rotados de Bob y . Entonces, Alice y Bob graban las direcciones en que ellos miden las partículas, y los resultados que obtienen. Al final, comparan sus resultados, puntuando +1 por cada vez que obtienen el mismo resultado y −1 si obtienen un resultado opuesto - excepto que si Alicia midió en y Bob midió en , puntuarán +1 por un resultado opuesto y −1 para el mismo resultado.
Utilizando este sistema de puntuación, cualquier posible combinación de variables ocultas produciría una puntuación media esperada de, como máximo, +0.5 (por ejemplo, mirando la tabla inferior, donde los valores más correlacionados de las variables ocultas tienen una correlación media de +0.5, i.e. idénticas al 75%. El "sistema de puntuación" inusual asegura que la máxima correlación media esperada es +0.5 para cualquier posible sistema que esté basado en variables locales). Modelo clásico: variables altamente correlacionadas variables menos correlacionadas Variable oculta para 0° (a): + + + + − − − − + + + + − − − − Variable oculta para 45° (b): + + + − − − − + + − − − + + + − Variable oculta para 90° (a'): + + − − − − + + − + + − + − − + Variable oculta para 135° (b'): + − − − − + + + + + − + − + − − Puntuación de correlación: Si se mide sobre a-b, puntuación: +1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 -1 +1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 +1 Si se mide sobre a' − b, puntuación: +1 +1 −1 +1 +1 +1 −1 +1 −1 −1 −1 +1 +1 −1 −1 −1 Si se mide sobre a'-b', puntuación: +1 −1 +1 +1 +1 −1 +1 +1 -1 +1 −1 −1 −1 −1 +1 −1 Si se mide sobre a − b', puntuación: −1 +1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −1 −1 Puntuación esperada promedio: +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 −0.5 −0.5 −0.5 −0.5 −0.5 −0.5 −0.5 −0.5
El teorema de Bell muestra que si las partículas se comportan como predice la mecánica cuántica, Alicia y Bob pueden puntuar más alto que la predicción clásica de variables ocultas de correlación +0.5; si los aparatos se rotan 45° entre sí, la mecánica cuántica predice que la puntuación esperada promedio será 0.71.
(Predicción cuántica en detalle: cuando las observaciones en un ángulo de se realizan sobre dos partículas entrelazadas, la correlación predicha es . La correlación es igual a la longitud de la proyección del vector de la partícula sobre su vector de medida; por trigonometría, . es 45°, y es , para todos los pares de ejes excepto – donde son 135° y –, pero este último se toma negativo en el sistema de puntuación acordado, por lo que la puntuación total es =0.707. En otras palabras, las partículas se comportan como si cuando Alicia o Bob hacen una medida, la otra partícula decidiese conmutar para tomar esa dirección instantáneamente).
Varios investigadores han realizado experimentos equivalentes utilizando diferentes métodos. Parece que muchos de estos experimentos producen resultados que están de acuerdo con las predicciones de la mecánica cuántica , y tienden a refutar las teorías de variables ocultas locales y la demostración de la no localidad. Todavía existen científicos que no están de acuerdo con estos hallazgos . Se encontraron dos escapatorias en el primero de estos experimentos: la de detección y la de comunicación, con los experimentos asociados para cerrar estas escapatorias. Tras toda la experimentación actual parece que estos experimentos dan prima facie soporte para las predicciones de la mecánica cuántica de no localidad .
Importancia del teorema Este teorema se ha denominado "el más profundo de la ciencia."Stapp, 1975 El influyente artículo de Bell de 1964 se tituló "Sobre la paradoja de Einstein Podolsky Rosen."J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics 1, 195 (1964) La paradoja Einstein Podolsky Rosen (paradoja EPR) demuestra, sobre la base de la asunción de "localidad" (los efectos físicos tienen una velocidad de propagación finita) y de "realidad" (los estados físicos existen antes de ser medidos), que los atributos de las partículas tienen valores definidos independientemente del acto de observación. Bell mostró que el realismo local conduce a un requisito para ciertos tipos de fenómenos que no está presente en la mecánica cuántica. Este requisito es denominado desigualdad de Bell.
Después de EPR (Einstein–Podolsky–Rosen), la mecánica cuántica quedó en una posición insatisfactoria: o estaba incompleta, en el sentido de que fallaba en tener en cuenta algunos elementos de la realidad física, o violaba el principio de propagación finita de los efectos físicos. En una modificación del experimento mental EPR, dos observadores, ahora comúnmente llamados Alicia y Bob, realizan medidas independientes del espín sobre un par de electrones, preparados en una fuente en un estado especial llamado un estado de espín singlete. Era equivalente a la conclusión de EPR de que una vez Alicia midiese el espín en una dirección ( i.e. sobre el eje x), la medida de Bob en esa dirección estaría determinada con total certeza, con resultado opuesto al de Alicia, mientras que inmediatamente antes de la medida de Alicia, el resultado de Bob estaba solo determinado estadísticamente. Por tanto, o el espín en cada dirección es un elemento de realidad física, o los efectos viajan desde Alicia a Bob de forma instantánea.
En mecánica cuántica (MC), las predicciones se formulan en términos de probabilidades — por ejemplo, la probabilidad de que un electrón sea detectado en una región particular del espacio, o la de que tenga espín arriba o abajo. Sin embargo, persiste la idea de que un electrón tiene una posición y espín definidos, y que la debilidad de la MC es su incapacidad de predecir exactamente esos valores de forma precisa. Queda la posibilidad de que alguna teoría más potente todavía desconocida, como una teoría de variables ocultas, pueda ser capaz de predecir estas cantidades exactamente, y a la vez esté en completo acuerdo con las respuestas probabilísticas dadas por la MC. Si una teoría de variables ocultas fuera correcta, la MC no las describiría, y por lo tanto sería una teoría incompleta.
El deseo de una teoría local realista se basaba en dos hipótesis: Los objetos tienen un estado definido, que determina los valores de todas las otras variables medibles, como la posición y el momento. Los efectos de las acciones locales, como las mediciones, no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz (como resultado de la relatividad especial). Si los observadores están suficientemente alejados, una medida realizada por uno no tiene efecto en la medida realizada por el otro.
En la formalización del realismo local utilizada por Bell, las predicciones de la teoría resultan de aplicar la probabilidad clásica a un espacio de parámetros subyacente. Mediante un simple (aunque inteligente) argumento basado en la probabilidad clásica, mostró que las correlaciones entre las medidas están acotadas de una forma que es violada por la MC.
El teorema de Bell parece poner punto final a las esperanzas del realismo local para la MC.
Por el teorema de Bell, o bien la mecánica cuántica o bien el realismo local están equivocados. Se necesitan experimentos para determinar cuál es correcto, pero llevó muchos años y muchos avances en la tecnología el poder realizarlos.
Los experimentos de prueba de Bell hasta la fecha muestran inequívocamente que las desigualdades de Bell son violadas. Estos resultados proveen evidencia empírica contra el realismo local y en favor de la MC. El teorema de no comunicación prueba que los observadores no pueden utilizar las violaciones de la desigualdad para comunicarse información entre ellos más rápido que la luz.
El artículo de John Bell examina tanto la prueba de 1932 de John von Neumann sobre la incompatibilidad de las variables ocultas con la mecánica cuántica, como el influyente artículo de Albert Einstein y sus colegas de 1935 sobre la materia.
Desigualdades de Bell