thumb|300px|Modelo informatizado de la órbita del cometa Halley

El modelizado de órbitas es el proceso de crear modelos matemáticos para simular el movimiento de un cuerpo masivo a medida que se mueve en órbita alrededor de otro cuerpo masivo debido a la gravedad. Otras fuerzas como la atracción gravitatoria de terceros cuerpos, la resistencia del aire, el viento solar o el empuje de un motor cohete, se suelen incluir en el modelo como efectos de segundo orden. Modelar directamente una órbita puede llevar a rebasar los límites de precisión de cálculo de los ordenadores, debido a la necesidad de modelar perturbaciones pequeñas en órbitas muy grandes. Debido a esto, los métodos de cálculo de perturbaciones a menudo se usan para modelar órbitas con el fin de lograr una mayor precisión.

Antecedentes El estudio del movimiento orbital y el modelado matemático de las órbitas comenzó con los primeros intentos de predecir los movimientos planetarios en el cielo, aunque en la antigüedad las causas seguían siendo un misterio. Newton, en el momento en que formuló sus leyes del movimiento y de la gravitación, las aplicó al primer análisis de perturbaciones, reconociendo las complejas dificultades de su cálculo. Muchos de los grandes matemáticos desde entonces han prestado atención a los diversos problemas involucrados. Así, durante los siglos y hubo una demanda de tablas precisas de la posición de la Luna y los planetas para fines de navegación en alta mar (véase la historia de la longitud).

Los movimientos complejos de las órbitas se pueden descomponer. El movimiento hipotético que el cuerpo sigue bajo el efecto gravitacional de otro cuerpo es típicamente una sección cónica, y puede modelarse fácilmente con métodos geométricos. A este caso se le denomina problema de los dos cuerpos o una órbita kepleriana imperturbable. Las diferencias entre una órbita de Kepler y el movimiento real del cuerpo son causadas por perturbaciones, consecuencia de fuerzas ajenas al efecto gravitatorio entre el cuerpo primario y el secundario. Estas fuerzas deben modelizarse para crear una simulación precisa de la órbita considerada. La mayoría de los enfoques de modelado de órbitas, abordan primero el problema de los dos cuerpos y luego agregan modelos de estas fuerzas perturbadoras y simulan estos modelos para lapsos de tiempo determinados. Las fuerzas perturbadoras pueden incluir la atracción gravitacional de otros cuerpos además de la primaria, el viento solar, la resistencia aerodinámica, los campos magnéticos y las fuerzas de propulsión.

Existen soluciones analíticas (expresiones matemáticas para predecir las posiciones y movimientos en cualquier momento futuro) para dos cuerpos simples y para el problema de los tres cuerpos; pero no se ha encontrado ninguna para el problema de los n cuerpos a excepción de ciertos casos especiales. Incluso el problema de dos cuerpos se vuelve irresoluble si uno de los cuerpos tiene una forma irregular.

Debido a la dificultad de encontrar soluciones analíticas para la mayoría de los problemas de interés, generalmente se utilizan programas computarizados de modelado y simulación para analizar movimientos orbitales. Aplicaciones de software comercial como Satellite Tool Kit se han creado con el propósito específico de simular órbitas y trayectorias de naves espaciales.

Modelo de órbitas keplerianas

En su forma más simple, se puede crear un modelo de órbita suponiendo que solo están involucrados dos cuerpos, ambos se comportan como masas puntuales, y que ninguna otra fuerza actúa sobre los cuerpos. Para este caso, el modelo se simplifica a una órbita de Kepler.

Las órbitas keplerianas siguen trayectorias con la forma de secciones cónicas. El modelo matemático de la órbita que da la distancia entre un cuerpo central y un cuerpo en órbita se puede expresar como:

donde: es la distancia es el semieje mayor, que define el tamaño de la órbita es la excentricidad orbital, que define la forma de la órbita es la anomalía verdadera, que es el ángulo entre la posición actual del objeto en órbita y la ubicación en la órbita más cercana al cuerpo central (llamada ápside)

Alternativamente, la ecuación se puede expresar como:

donde es el semiancho recto de la curva. Esta forma de la ecuación es particularmente útil cuando se trata de trayectorias parabólicas, para las que el semieje mayor es infinito.

Un enfoque alternativo utiliza la Ley de gravitación universal de Isaac Newton como se define a continuación:

donde:

es la magnitud de la fuerza gravitacional entre las dos masas puntuales es la constante de gravitación universal es la masa del primer punto de material es la masa del segundo punto de material es la distancia entre las dos masas de puntuales

Haciendo una suposición adicional de que la masa del cuerpo primario es mucho mayor que la masa del cuerpo secundario, hace que la segunda ley de Newton, dé como resultado la siguiente ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial proporciona el movimiento de Kepler para una órbita. En la práctica, las órbitas de Kepler suelen ser útiles solo para aproximaciones de primer orden, casos especiales o como modelo base para una órbita con perturbaciones.

Métodos de simulación de órbita

Los modelos de órbitas generalmente consideran la propagación de las perturbaciones en el tiempo y en el espacio utilizando métodos especiales. Para ello, se modeliza primero la órbita principal como una órbita Kepleriana y a continuación se agregan las perturbaciones al modelo para tener en cuenta las diversas alteraciones que afectan a la órbita. Se pueden aplicar perturbaciones especiales a cualquier problema en mecánica celeste, ya que no se limita a los casos en que las fuerzas son pequeñas. Los métodos de perturbación especiales son la base de las efemérides planetarias generadas por ordenadores muy potentes y de gran precisión (véase por ejemplo la entrada del Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris)

Método de Cowell thumb|Método de Cowell. Las fuerzas perturbadoras de todos los cuerpos (negro y gris) se suman para obtener la fuerza total i sobre el cuerpo (rojo), que es integrada numéricamente empezando desde una nueva posición inicial (la época de osculación).

El método de Cowell es quizás el más simple de los métodos especiales de cálculo de perturbaciones:Debe su nombre a Philip H. Cowell, quien, con A.C.D. Cromellin, usó un método similar para predecir el retorno del cometa Halley. matemáticamente, para cuerpos que interactúan mutuamente, las fuerzas newtonianas que actúan sobre el cuerpo procedentes de los otros cuerpos simplemente se suman así,

donde es el vector aceleración del cuerpo es la constante de gravitación universal es la masa del cuerpo y son las posiciones de los objetos y es la distancia del objeto al objeto con todos los vectores referidos al centro de masas del sistema. Esta ecuación se resuelve en componentes en , , y estos se integran numéricamente para formar los nuevos vectores de velocidad y posición a medida que la simulación avanza en el tiempo. La ventaja del método de Cowell es la facilidad de aplicación y programación. Una desventaja es que cuando las perturbaciones se vuelven grandes en magnitud (como cuando un objeto se acerca mucho a otro) los errores del método también se vuelven grandes. Otra desventaja es que en sistemas con un cuerpo central dominante, como el Sol, es necesario calcular muchas cifras significativas en las operaciones aritméticas debido a la gran diferencia entre la fuerza del cuerpo central y las de los cuerpos perturbadores.

El método de Encke

thumb|Método de Encke. Muy exagerada aquí, la pequeña diferencia δ r (azul) entre la órbita osculante, no perturbada (negra) y la órbita perturbada (roja), se integra numéricamente a partir de la posición inicial (la "época de la osculación").

El método de Encke comienza con la órbita osculante como referencia y se integra numéricamente para resolver la variación de la referencia en función del tiempo.Debe su nombre a Johann Encke; Sus ventajas son que las perturbaciones generalmente son de magnitud pequeña, por lo que la integración puede avanzar en pasos más amplios (con los consiguientes menores errores), y el método se ve mucho menos afectado por perturbaciones extremas que el método de Cowell. Su desventaja es la complejidad; no puede usarse indefinidamente sin actualizar ocasionalmente la órbita de osculación y continuar desde allí, en un proceso conocido como rectificación. Battin (1999), sec. 10.2.

Haciendo que sea el radio vector de la órbita osculante, el vector del radio de la órbita perturbada y la variación de la órbita de osculación, entonces

y son solo las ecuaciones de movimiento de y ,

donde es el parámetro gravitacional estándar con y las masas del cuerpo central y del cuerpo perturbado, es la aceleración perturbadora, y y son las magnitudes de y .

Sustituyendo las ecuaciones () y () en la ecuación (),

que, en teoría, podría integrarse dos veces para encontrar . Dado que la órbita de osculación se calcula fácilmente mediante métodos de dos cuerpos, se toman en cuenta y y se puede resolver . En la práctica, la cantidad en los corchetes, , es la diferencia de dos vectores casi iguales, y es necesaria un número mayor de cálculos para evitar la necesidad de utilizar numerosas cifras significativas adicionales.Bate, Mueller, White (1971), sec. 9.3.Roy (1988), sec. 7.4.

Método de Sperling-Burdet En 1991 Victor R. Bond y Michael F. Fraietta crearon un método eficiente y altamente preciso para resolver el problema de dos cuerpos perturbado. Este método utiliza las ecuaciones diferenciales de movimiento linealizadas y regularizadas derivadas de Hans Sperling y una teoría de perturbación basada en estas ecuaciones desarrolladas por C.A. Burdet en el año 1864. En 1973, Bond y Hanssen mejoraron el conjunto de ecuaciones diferenciales de Burdet al usar la energía total del sistema perturbado como un parámetro en lugar de la energía de dos cuerpos y al reducir el número de elementos a 13. En 1989 Bond y Gottlieb incorporaron una integral jacobiana, que es una constante cuando la función potencial depende explícitamente del tiempo y de la posición en las ecuaciones newtonianas. La constante jacobiana se usó como un elemento para reemplazar la energía total en una reformulación de las ecuaciones diferenciales del movimiento. En este proceso, se introduce otro elemento que es proporcional a una componente del momento angular. Esto hizo que la cantidad total de elementos volviera a 14. En 1991, Bond y Fraietta realizaron nuevas revisiones al reemplazar el vector de Laplace con otra integral de vector así como otra integral escalar que eliminó los términos seculares pequeños que aparecían en las ecuaciones diferenciales para algunos de los elementos.

El método de Sperling-Burdet se ejecuta en un proceso de 5 pasos de la siguiente manera: Paso 1: Inicialización Dada una posición inicial, , una velocidad inicial, y una hora inicial, , se inicializan las siguientes variables:

Perturbaciones debidas a masas perturbadoras, definidas como y , son evaluadas Perturbaciones debido a otras aceleraciones, definidas como , son evaluadas

Paso 2: Transformar elementos en coordenadas

donde son funciones de Stumpff Paso 3: Evaluar ecuaciones diferenciales para los elementos

Paso 4: Integración Aquí las ecuaciones diferenciales se integran durante un período para obtener el valor del elemento en Paso 5: Avance Configurando y regresando al paso 2 hasta que se cumplan las condiciones de detención de la simulación.

Modelos de fuerzas perturbadoras Las fuerzas perturbadoras hacen que las órbitas se aparten de una órbita Kepleriana perfecta. Los modelos para cada una de estas fuerzas se crean y ejecutan durante la simulación orbital para que se puedan determinar sus efectos en la órbita.

Gravedad no esférica