derecha|300px|thumb|Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.
La trigonometría es una rama de la matemática cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos y .
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría o la geometría analítica en particular geometría plana o geometría del espacio. En soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias ( y = y´´), series de Fourier usadas en ecuaciones en derivadas parciales.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas globales de navegación por satélites.
thumbnail|300px|El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de los ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.
Historia
thumb|left|Tablilla babilonia Plimpton 322.
Los antiguos egipcios y los babilonios conocían los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de segundo grado o una tabla trigonométrica.
thumb|Papiro de Ahmes. Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:
Si una pirámide es de 250codos de alto y el lado de su base es de 360codos de largo, ¿cuál es su Seked?
La solución al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su respectiva cara.
Unidades angulares En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción. Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2πradianes (algo más de 6,28). Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400grados centesimales. Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400unidades. 300px 300px Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales 300px 300px Transportador en grados centesimales Transportador en mil angular
Las funciones trigonométricas
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
Razones trigonométricas derecha|280px El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C, con radio unitario (AB = AD = 1); lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia. El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa.
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Representación gráfica 740px|centro|thumbnail|Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Razones trigonométricas recíprocas
derecha|280px
La cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
La secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
La cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse
Representación gráfica 740px|centro|thumbnail|Representación de las funciones trigonométricas inversas en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Otras funciones trigonométricas Además de las funciones anteriores, existen otras funciones trigonométricas. Matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, pero sí se emplean, dado su sentido geométrico. Veamos:
El seno cardinal o función sinc (x) definida:
El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:
El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:
El coverseno,
El semicoverseno
La exsecante:
Funciones trigonométricas recíprocas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíprocas se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función recíproca:
y es igual al seno de x, la función recíproca:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función recíproca:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función recíproca:
x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.
NOTA: Es común, que las funciones recíprocas sean escritas de esta manera:
pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:
Representación gráfica 400px|derecha|thumbnail|Representación de las funciones trigonométricas reciprocas en el plano cartesiano (x,y), como la recíproca del seno, el coseno y la tangente, los valores en el eje y expresados en radianes.
Si aplicamos el criterio para obtener las funciones recíprocas en el sentido estricto, definiendo el arcoseno como la recíproca del seno, el arcocoseno como la recíproca del coseno y el arco tangente como la recíproca de la tangente, lo obtenido es la gráfica de la derecha. Es fácil percatarse que estas representaciones no cumplen la unicidad de la imagen, que forma parte de la definición de función, eso es para un valor de x dado existen un número infinito de valores que son su función, por ejemplo: el arcoseno de 0 es 0, pero también lo son cualquier múltiplo entero de .
Para cualquier n número entero.
Dado que la recíproca de una función no tiene que cumplir necesariamente la unicidad de imagen, solo las funciones inyectivas y biyectivas dan funciones recíprocas con esta propiedad, esta situación se repite para el resto de las funciones recíprocas trigonométricas.
400px|derecha|thumbnail|Representación de las funciones trigonométricas reciprocas, corregidas.
A fin de garantizar el cumplimiento de la definición de función, en cuanto a la unicidad de imagen, y que por tanto las funciones trigonométricas recíprocas cumplan los criterios de la definición de función, se suele restringir tanto el dominio como el codominio, esta corrección permite un análisis correcto de la función, a pesar de que no coincida exactamente con la recíproca de la función trigonométrica original. Así tenemos que:
La función arcoseno se define:
La función arcocoseno se define:
La función arcotangente se define:
Funciones trigonométricas inversas recíprocas Del mismo modo que las funciones trigonométricas directas recíprocas, cuando el ángulo se expresa en radianes, se denomina arco a ese ángulo, y se emplea el prefijo arco para la función trigonométrica recíproca, así tenemos que:
y es igual a la cosecante de x, la función recíproca:
x es el arco cuya cosecante vale y, o también x es la arcocosecante de y.
si:
y es igual al secante de x, la función recíproca:
x es el arco cuya secante vale y, que se dice: x es el arcosecante de y.
si:
y es igual al cotangente de x, la función recíproca:
x es el arco cuya cotangente vale y, o x es igual al arcocotangente de y.
Representación gráfica 400px|derecha|thumbnail|Representación de las funciones trigonométricas inversas reciprocas en el plano cartesiano (x,y), como la recíproca de la cosecante, secante y cotangente, los valores en el eje y expresados en radianes.
Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el criterio para obtener las funciones recíprocas, dado que las funciones trigonométricas inversas no son inyectivas, lo obtenido es la gráfica de la derecha, que no cumplen la unicidad de la imagen, que forma parte de la definición de función.
400px|derecha|thumbnail|Representación de las funciones trigonométricas inversas reciprocas, corregidas.
Para que se cumpla la definición de función, definimos un dominio y un codominio restringidos. Así tenemos que:
La función arcocosecante se define:
La función arcosecante se define:
La función arcocotangente se define:
Esta restricción garantiza el cumplimiento de la definición de función.
Equivalencia entre las funciones trigonométricas <center> {| class="wikitable" ! ! Seno ! Coseno ! Tangente ! Cotangente ! Secante ! Cosecante |- |||<center>||||||||||<center> |- |||||<center>||||||<center>|| |- |||||||<center>||<center>|||| |- |||||||<center>||<center>|||| |- |||||<center>||||||<center>|| |- |||<center>|||||||||||}
Valor de las funciones trigonométricas A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: 300px 300px Circunferencia en radianes. Circunferencia en grados sexagesimales.
Radianes Gradossexagesimales seno coseno tangente cosecante secante cotangente60px 60px 60px 60px 60px