Se da y = f(x),

una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la función y = f(x).

Se admite que x0 sea un valor fijo del intervalo, al cual le corresponde el valor f(x0). De modo que hay una variación de los valores de la función f(x) -f(x0) y la variación en los valores de dominio: x - x0.

se considera la razón de la variación de la función a la de los elementos del dominio:

Se halla el límite de esta razón cuando . En caso de existir este límite se llama derivada ordinaria de la función dada f(x) en x0 y se denota

o sea formalmente Definición Al límite , en caso de existir, se llama derivada ordinaria de f en x0.. Tom Apostol: Análisis matemático A esta fórmula se conoce como la Notación de LeibnizKarel de Leeuw: Calculus Editorial Universitraria de Buenos Aires/ 1972

Notaciones

, se suprimió su uso en 1915 en Gran Bretaña

Ejemplo Sea la función definida por

evaluación en x0 da:

diferencia , racionalizando

cociente

finalmente el límite: La derivada por los cuatro pasos aparece en Cálculo de Protters -Morrey

Interpretaciones En la física la velocidad instantánea se considera como la derivada del espacio con respecto al tiempo en un instante dado. En la geometría analítica, la derivada se considera el valor de la pendiente de una recta tangente a una curva considerando que las secantes se acercan como posición límite a dicha tangente. En química la velocidad de disolución de sal en relación con la concentración en un instante dado. Se considera que la capacidad calórica es la derivada de la capacidad de calor respecto a la temperatura.

Propiedades Dada una función a la operación de hallar su función derivada se denomina derivación, algunas veces diferenciación. Si la función y = f(x) tiene derivada ordinaria en el valor x0 se dice que la función f es derivable en dicho valor. La función está definida en el conjunto de los números reales no negativos, pero su función derivada está definida sólo para los números reales positivos. Si una función y = f(x) es derivable en cada punto de un intervalo I, se puede definir la función derivada de I en R. Se considera el conjunto de funciones en I y también el conjunto de funciones derivables. Se puede considerar la derivada como una aplicación que a f le hacer corresponde f'. En tal caso la derivada es una aplicación lineal. Esto es

Proposición Si la función y = f(x) es derivable en x0 será continua para dicho valor.N. Piskunov: Calculo diferencial e integral tomo I, Editorial Mir, Moscú /1983 sexta edición

Derivadas unilaterales Hay funciones de variable real que son continuas en un determinado punto, pero no tiene derivada en dicho punto; en esta situación ayuda aclarar el caso, los conceptos de derivadas unilaterales. Primer caso Al límite , se llama derivada por la derecha de la función f en el punto Maynard Kong: Cálculo diferencial, PUCP Fondo Editorial, Lima / 1995 Segundo caso Al límite , se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto Maynard Kong: Op. cit.

A la derivada por la derecha y a la derivada por la izquierda se llaman derivadas unilaterales Ejemplo Sea da la función y = |cos x| hallar las derivadas unilaterales en

Para 0 <x < π/2, se tiene |cos x|= cosx; para π/2 < x < π, resulta |cos x| = -cosx además Derivada por la izquierda Se tiene que calcular el límite de cuando que es igual a hallar el límite por la izquierda de que resulta

La derivada por la derecha En este caso hay que calcular el límite de cuando que es igual a hallar el límite por la derecha de

que resulta Stefan Banach: Cálculo diferencial e integral Uteha, México/ 1967

Esta función es continua en pero no es derivable en tal punto, al no ser iguales sus derivadas unilaterales.

Proposición Es una consecuencia inmediata de la definición de límites unilaterales que existe la derivada ordinaria en x0 si y sólo si existen y son iguales las derivadas unilaterales en x0 . En caso de cumplimiento de tales condiciones es cierta la igualdad

Véase también Función de una variable Intervalo abierto Límite Recta tangente Extremos de una función

Notas y referencias

Fuente bibliográfica Calculus por Spivak Análisis matemático por Tom Mike Apostol Análisis matemático por Lange Análisis matemático por Elon Lages Introducción al análisis matemático de una variable por Bartle - Sherbert

FunÇoes reais Djairo de Figueredo Análisis matemático tomo I por Hasser-La salles -Sullivan Análisis matemático por Kudriátsev Categoría:Análisis matemático

Categoría:Cálculo diferencial