thumb|400px|Ejemplos de una incónica (la inelipse de Steiner, en color rojo) y de una circuncónica (la circunelipse de Steiner, en color magenta).
En la geometría del triángulo, una circuncónica es una curva cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo dado,Weisstein, Eric W. "Circumconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html y una incónica es una curva cónica inscrita en los lados (incluso extendidos) de un triángulo.Weisstein, Eric W. "Inconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Supóngase que A, B, C son distintos puntos no colineales, y que ΔABC designa el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice, sino también el ángulo BAC en el vértice A, y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC. Sean a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, las longitudes de los lados de ΔABC.
En coordenadas trilineales, una circuncónica general es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación
uyz + vzx + wxy = 0,
para algún punto u : v : w. El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, que no sea A, B, C, es un punto de la línea
ux + vy + wz = 0.
Esta línea coincide con la circunferencia circunscrita de ΔABC en 0, 1 o 2 puntos, según la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.
Una incónica general es tangente a las tres líneas rectas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación
u2x2 + v2y2 + w2z2 − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.
Centros y líneas tangentes
Circuncónica
El centro de una circuncónica general es el punto
u (− au + bv + cw) : v (au − bv + cw) : w (au + bv − cw).
Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,
wv + vz = 0, uz + wx = 0, vx + uy = 0.
Incónica
El centro de una incónica general es el punto
cy + bz : az + cx : bx + ay.
Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.
Otras características
Circuncónica
Cada circuncónica no circular se corta con la circunferencia circunscrita de ΔABC en un punto que no sea A, B o C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección, dado por las coordenadas trilineales
(cx − az) (ay − bx) : (ay − bx) (bz − cy) : (bz − cy) (cx − az)
Si P = p : q : r es un punto en una circuncónica general, entonces la tangente a la cónica en P viene dada por
(vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z = 0.
La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si
u2a2 + v2b2 + w2c2 − 2vwbc − 2wuca − 2vavab = 0,
y a una hipérbola si y solo si
u cos A + v cos B + w cos C = 0.
De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene el área más grande coincide con el centro de la elipse. La elipse dada, pasando por los tres vértices de este triángulo y centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner.
Incónica
Una incónica general se reduce a una parábola si y solo si
ubc + vca + wab = 0,
en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a los otros dos lados extendidos.
Supóngase que p1 : q1 : r1 y p2 : q2 : r2 son puntos distintos, y sea
X = (p1 + p2t) : (q1 + q2t) : (r1 + r2t).
Como el parámetro t se extiende a través del dominio de los números reales, el lugar geométrico de X es una recta. Definiendo
X2 = (p1 + p2t) 2 : (q1 + q2t) 2 : (r1 + r2t)2,
el lugar geométrico de X2 es la incónica, necesariamente una elipse, dada por la ecuación L4x2 + M4y2 + N4z2 − 2M2N2yz − 2N2L2zx − 2L2M2xy = 0,
donde
L = q1r2 − r1q2, M = r1p2 − p1r2, N = p1q2 − q1p2.
Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del propio triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original.Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979. Para un punto dado dentro del triángulo medial, la inelipse con su centro en ese punto es única. La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner, también llamada la inelipse del punto medio, con su centro en el centroide del triángulo. En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unidad del centro de la inelipse, es
que se maximiza para las coordenadas baricéntricas del centroide
Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes.
Extensión a los cuadriláteros
Todos los centros de inelipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero.
Ejemplos
Circuncónicas Circunferencia circunscrita, la única circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo Circunelipse de Steiner, la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo Hipérbola de Kiepert, la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro Hipérbola de Jeřábek, una hipérbola centrada en la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como su circunferencia circunscrita, ortocentro y varios otros centros notables Hipérbola de Feuerbach, una hipérbola equilátera que pasa a través del ortocentro de un triángulo, del punto de Nagel y de varios otros puntos notables, y tiene su centro en el círculo de nueve puntos. Incónicas Incírculo, el único círculo que es internamente tangente a los tres lados de un triángulo Inelipse de Steiner, la única elipse que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios Inelipse de Mandart, la única elipse tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excircunferéncias Parábola de Kiepert Parábola de Yff
Referencias
Enlaces externos Circumconic en MathWorld Inconic en MathWorld
Categoría:Secciones cónicas