thumb|300px|Figura 1: El punto O es un centro de homotecia externo de los dos triángulos. El tamaño de cada figura es proporcional a su distancia al centro de homotecia. thumb|300px|Figura 2: Dos figuras geométricas relacionadas por un centro de homotecia externo S. Los ángulos en puntos correspondientes son los mismos y tienen el mismo sentido; por ejemplo, los ángulos ABC y A'B'C' giran en sentido antihorario y tienen igual magnitud. En geometría, un centro de homotecia (también llamado centro de semejanza o centro homotético) es un punto desde el cual se pueden ver al menos dos figuras geométricamente semejantes como dilatación o contracción la una de la otra. Si el centro es «externo», las dos figuras son directamente semejantes entre sí, y por lo tanto, sus ángulos tienen el mismo sentido de rotación. Si el centro es «interno», las dos figuras son imágenes especulares escaladas entre sí, y sus ángulos tienen sentido opuesto.
Polígonos generales de la homotecia thumb|Los centros de homotecia externo (arriba) e interno (abajo) de los dos círculos (rojo) figuran como puntos en color negro. Si dos figuras geométricas poseen un centro homotético, son semejantes entre sí; en otras palabras, deben tener los mismos ángulos en los puntos correspondientes y diferir solo en su escala relativa. El centro homotético y las dos figuras no necesitan estar en el mismo plano; también se pueden relacionar mediante una proyección tridimensional desde un centro de homotecia.
Los centros de homotecia pueden ser externos o internos. Si el centro es interno, las dos figuras geométricas son imágenes escaladas especulares la una de la otra; en lenguaje técnico, tienen quiralidad opuesta. Un ángulo en el sentido de las agujas del reloj en una figura correspondería a un ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj en la otra. Por el contrario, si el centro es externo, las dos figuras son directamente semejantes entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido.
Círculos Los círculos son geométricamente semejantes entre sí y presentan simetría especular respecto a cualquier diámetro. Por lo tanto, un par de círculos poseen indistintamente ambos tipos de centros homotéticos, internos y externos, a menos que los centros sean coincidentes, o sus dos radios sean iguales. Estos casos excepcionales se tratan más adelante, según su posición general. Los dos centros de homotecia se encuentran en la línea que une los centros de las dos circunferencias dadas, que se llama la «recta de centros» (Figura 3). También se pueden incluir círculos con radio cero (véanse los casos excepcionales), y así mismo se puede usar el radio negativo, conmutando los centros externo e interno.
Determinación de centros de homotecia thumb|right|400px|Figura 3: Dos círculos poseen los dos tipos de centros de homotecia, el interno (I) y el externo (E). Sus radios (r1 y r2) son proporcionales a la distancia (d) al centro de homotecia. Los puntos A1 y A2 son homotéticos, al igual que los puntos B1 y B2. Para un par de círculos dados, los centros de homotecia internos y externos se pueden localizar de varias maneras. En geometría analítica, el centro de homotecia interno se obtiene como la media ponderada de los centros de los círculos, ponderados por el radio del círculo opuesto: la distancia desde el centro del círculo al centro interno es proporcional a ese radio, por lo que la ponderación es proporcional al radio opuesto. Denotando los centros de los círculos como y por y y sus radios por y ; y designando el centro por esto es:
El centro externo se puede calcular con la misma ecuación, pero considerando uno de los radios como negativo; cualquiera de los dos produce la misma ecuación, que es:
De manera más general, tomar ambos radios con el mismo signo (tanto positivo como negativo) produce el centro interno, mientras que tomar los radios con signos opuestos (uno positivo y el otro negativo) produce el centro externo. Nótese que la ecuación para el centro interno es válida para cualquier valor (a menos que ambos radios sean cero o uno sea el negativo del otro), pero la ecuación para el centro externo requiere que los radios sean diferentes, de lo contrario implica una división por cero.
En geometría sintética, se dibujan dos diámetros paralelos, uno para cada círculo; de manera que formen el mismo ángulo α con la línea de centros. Las rectas A1A2 y B1B2 dibujadas a través de los puntos finales correspondientes de esos radios, que son puntos homotéticos, se cruzan entre sí y con la línea de centros en el centro de homotecia externo. Por el contrario, las líneas A1B2 y B1A2 dibujadas a través de un punto final y el punto final opuesto en el otro círculo, se cruzan entre sí y con la línea de centros en el centro homotético interno.
Como caso límite de esta construcción, una línea tangente a ambos círculos (una línea bitangente) pasa a través de uno de los centros de homotecia, ya que forma ángulos rectos con los dos diámetros correspondientes, que son así paralelos; véase rectas tangentes a dos circunferencias para más detalles. Si los círculos quedan en lados opuestos de la recta, la tangente pasa a través del centro de homotecia interno, como en A2B1 en la figura anterior. Por el contrario, si los círculos quedan en el mismo lado de la línea, pasa a través del centro de homotecia externo (no representado).
Casos especiales Si los círculos tienen el mismo radio (pero centros diferentes), no poseen un centro homotético externo en el plano afín: en la geometría analítica esto da como resultado una división por cero, mientras que en la geometría sintética las líneas A1A2 y B1B2 son paralelas a la línea de centros (tanto para líneas secantes como para las líneas bitangentes) y, por lo tanto, no tienen intersección. Un centro externo se puede definir en el plano proyectivo como el punto del infinito correspondiente a la pendiente de esta línea. Este es también el límite del centro externo si los centros de los círculos están fijos y los radios se varían hasta que sean iguales.
Si los círculos tienen el mismo centro pero diferentes radios, tanto el externo como el interno coinciden con el centro común de los círculos. Esto se puede ver a partir de la fórmula analítica, y también es el límite de los dos centros homotéticos, ya que los centros de los dos círculos se pueden hacer variar hasta que coincidan, manteniendo los radios iguales. Sin embargo, no hay una línea de centros, y la construcción sintética falla cuando las dos líneas paralelas coinciden.
Si un radio es cero pero el otro es distinto de cero (un punto y un círculo), tanto el centro externo como el interno coinciden con el punto (centro del círculo de radio cero).
Si los dos círculos son idénticos (el mismo centro, el mismo radio), el centro interno es su centro común, pero no hay un centro externo bien definido. De manera adecuada, la función parametrizada de dos círculos en el plano hacia el centro externo tiene una discontinuidad no evitable en el lugar geométrico de los círculos idénticos. En el límite de dos círculos con el mismo radio pero distintos centros tendiendo a tener el mismo centro, el centro externo es el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, que puede ser cualquiera, por lo que no existe un límite para todos los posibles pares de tales círculos
Por el contrario, si ambos radios son cero (dos puntos) pero los puntos son distintos, el centro externo puede definirse como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, pero no hay un centro interno bien definido.
Puntos homólogos y antihomólogos thumb|400px|Figura 4: Rectas a través de sus correspondientes puntos antihomólogos se cortan en el eje radical de los dos círculos dados (verde y azul). Los puntos Q y P′ son antihomólogos, como S y R′. Estos cuatro puntos yacen en una circunferencia que interseca los dos círculos dados; las rectas a través de los puntos de intersección del nuevo círculo con los dos círculos dados deben cortarse en el centro radical G de los tres círculos, que descansa sobre el eje radical de los dos círculos dados. En general, un rayo que emana de un centro homotético intersecará cada uno de sus círculos en dos puntos. De estos cuatro puntos, se dice que dos son «homólogos» si los radios dibujados forman el mismo ángulo con la línea que conecta los centros, por ejemplo, los puntos A1 y A2 en la Figura 3. Los puntos que son colineales con respecto al centro homotético pero que son «no» homólogos se dice que son «antihomólogos», por ejemplo, los puntos Q y P′ en la Figura 4.
Pares de puntos antihomólogos se encuentran en un círculo Cuando dos rayos del mismo centro homotético se cruzan con los dos círculos, cada conjunto de puntos antihomológicos se encuentra en un círculo.
Considérense los triángulos EQS y EQ′S′ (Figura 4).
Son semejantes porque ambos comparten el ángulo ∠QES = ∠Q′ES′ y ya que E es el centro homotético. De esa semejanza se deduce que ∠ESQ = ∠ES′Q′ = α. El ángulo inscrito ∠EP′R′ = ∠ES′Q′. ∠QSR′ = 180°-α, ya que es suplementario a ∠ESQ. En el cuadrilátero QSR′P′ ∠QSR′ + ∠QP′R′ = 180° - α + α = 180° lo que significa que puede estar inscrito en una circunferencia. De la expresión de la potencia de un punto se deduce que EQ · EP′ = ES · ER′.
Del mismo modo, se puede demostrar que PRS′Q′ puede inscribirse en una circunferencia y EP · EQ′ = ER · ES′.
La prueba es similar para el centro homotético interno I.
PIR ~ P′IR′ luego ∠RPI = ∠IP′R′ = α. ∠RS′Q′ = ∠PP′R′ = α (teorema del ángulo inscrito). El segmento RQ′ se ve en el mismo ángulo desde P y S′, lo que significa que R, P, S′, Q′ se encuentran en un círculo.
De acuerdo con el teorema de las cuerdas secantes, IP · IQ′ = IR · IS′.
Del mismo modo QSP′R′ se puede inscribir en un círculo, e IQ · IP′ = IS · IR′.
Relación con el eje radical Dos círculos tienen un eje radical, que es la línea de los puntos desde los que las tangentes a ambos círculos tienen la misma longitud. De manera más general, cada punto en el eje radical tiene la propiedad de que su potencia relativa a los círculos es la misma. El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros, y si se cruzan dos círculos, su eje radical es la línea que une sus puntos de intersección. Para tres círculos, se pueden definir tres ejes radicales, uno para cada par de círculos (C1 / C2, C1 / C3 y C2 / C3); notablemente, estos tres ejes radicales se cruzan en un solo punto, el centro radical. Las tangentes tendidas desde el centro radical a los tres círculos tendrían la misma longitud.
Se pueden usar dos pares de puntos antihomológicos para encontrar un punto en el eje radical. Considérense los dos rayos que emanan del centro homotético externo E en la Figura 4. Estos rayos intersecan los dos círculos dados (verde y azul en la Figura 4) en dos pares de puntos antihomólogos, Q y P′ para el primer rayo, y S y R′ para el segundo rayo. Estos cuatro puntos se encuentran en un solo círculo, que cruza ambos círculos dados. Por definición, la línea QS es el eje radical del nuevo círculo con el círculo dado verde, mientras que la línea P′R′ es el eje radical del nuevo círculo con el círculo dado azul. Estas dos líneas se cruzan en el punto G, que es el centro radical del nuevo círculo y los dos círculos dados. Por lo tanto, el punto G también se encuentra en el eje radical de los dos círculos dados.
Círculos tangentes y puntos antihomólogos Para cada par de puntos antihomólogos de dos círculos, existe un tercer círculo que es tangente a los dos círculos dados y que los toca en los puntos antihomólogos.
Lo contrario también es cierto: cada círculo que es tangente a otros dos círculos, los toca en un par de puntos antihomólogos.
thumb|400px|Figura 5: Cada círculo que es tangente a dos círculos dados, los toca en un par de puntos antihomólogos.