right|thumb|300px|Ladrillo de Euler con aristas y diagonales de cara ; todas ellas con valores enteros
En matemáticas, un ladrillo de Euler, nombrado así en recuerdo de Leonhard Euler, es un ortoedro cuyas aristas y diagonales de cara tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es aquel cuyas longitudes de arista son números primos entre sí.
Definición La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución para el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas:
donde son las aristas y son las diagonales.
Propiedades Si es una solución, entonces también es una solución para cualquier . En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas versiones de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de arista , la terna también constituye un ladrillo de Euler.Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962). Al menos dos bordes de un ladrillo de Euler son divisibles por 3. Al menos dos bordes de un ladrillo de Euler son divisibles por 4. Al menos un borde de un ladrillo de Euler es divisible por 11.
Ejemplos thumb|400px|Los cinco ladrillos de Euler primitivos con dimensiones por debajo de 1000 El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene los bordes y las diagonales de cara .
Algunas otras soluciones primitivas pequeñas, dadas según sus aristas y sus diagonales de cara , figuran a continuación: {| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;" |(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||) |- |(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||) |- |(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||) |- |(|| 195,|| 748,|| 6336||) — (|| 773,|| 6339,|| 6380||) |- |(|| 240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||) |- |(|| 429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,|| 2500||) |- |(|| 495,|| 4888,|| 8160||) — (|| 4913,|| 8175,|| 9512||) |- |(|| 528,|| 5796,|| 6325||) — (|| 5820,|| 6347,|| 8579||) |- |(|| 828,|| 2035,|| 3120||) — (|| 2197,|| 3228,|| 3725||) |- |(|| 935,|| 17472,|| 25704||) — (|| 17497,|| 25721,|| 31080||) |- |(|| 1008,|| 1100,|| 1155||) — (|| 1492,|| 1533,|| 1595||) |- |(|| 1008,|| 1100,|| 12075||) — (|| 1492,|| 12117,|| 12125||) |- |(|| 1080,|| 1881,|| 14560||) — (|| 2169,|| 14600,|| 14681||) |- |(|| 1155,|| 6300,|| 6688||) — (|| 6405,|| 6787,|| 9188||) |- |(|| 1188,|| 16016,|| 39195||) — (|| 16060,|| 39213,|| 42341||) |- |(|| 1575,|| 1672,|| 9120||) — (|| 2297,|| 9255,|| 9272||) |- |(|| 2079,|| 44080,|| 65472||) — (|| 44129,|| 65505,|| 78928||)
Fórmula generadora Euler encontró al menos dos ecuaciones paramétricas para el problema, pero ninguna da todas las soluciones.
Se puede generar una infinidad de bloques de Euler con la ecuación paramétrica de Sounderson.Math table, February 24, 2009, Oliver Knill, http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf Sean una terna pitagórica (es decir, ). Entonces las aristas
dan las diagonales de cara
Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como los anteriores, por ejemplo, el ladrillo de Euler con los bordes y las diagonales de cara .
Ortoedro perfecto
Un "ortoedro perfecto" (también llamado "ladrillo perfecto de Euler" o "caja perfecta") es un ladrillo de Euler, que además posee una diagonal espacial que también tiene una longitud entera. En otras palabras, la siguiente ecuación se agrega al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:
donde es la diagonal espacial. , no se ha encontrado ningún ejemplo de ortoedro perfecto y nadie ha demostrado que no exista ninguno. right|Ladrillo de Euler de lados y diagonales de cara
Las exhaustivas búsquedas por computadora muestran que, en caso de que existiese un ortoedro perfecto: La arista impar debe ser mayor que 2.5 × 1013,R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf La arista más pequeña debe ser mayor que 5 × 1011.
Se conocen algunos hechos sobre propiedades que deben ser satisfechas por un ortoedro perfecto primitivo, si existe, basados en la aritmética modular:M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).
Una arista, dos diagonales de cara y la diagonal espacial deben ser impares, una arista y la diagonal de la cara restante deben ser divisibles por 4, y la arista restante debe ser divisible por 16. Dos aristas deben tener una longitud divisible por 3 y al menos una de esas aristas debe tener una longitud divisible por 9. Una arista debe tener una longitud divisible por 5. Una arista debe tener una longitud divisible por 7. Una arista debe tener una longitud divisible por 11. Una arista debe tener una longitud divisible por 19. Una arista o la diagonal espacial deben ser divisibles por 13. Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 17. Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 29. Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 37.
En adición:
La diagonal espacial no es una potencia principal ni un producto de dos primos. La diagonal espacial solo puede contener divisores primos ≡ 1 (mod 4).I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000
Ortoedros casi perfectos Se ha descubierto que hay 3 tipos de ortoedros, denominados ortoedros cuerpo, arista y cara. Cada tipo tiene una de las 7 longitudes irracionales, las otras 6 longitudes son racionales.Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
En el caso del ortoedros cuerpo, la diagonal espacial es irracional. Para el ortoedro arista, una de las aristas es irracional. El ortoedro cara tiene solo una de las diagonales faciales irracional.
El ortoedro cuerpo se conoce comúnmente como el "ortoedro de Euler" en honor a Leonard Euler, quien investigó sobre este tipo de ortoedro.Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771 También conocía los ortoedros cara y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672). Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
Solo recientemente se conocen los ortoedros en números complejos.
, Randall L. Rathbun publicóRandall L. Rathbun, The Integer Cuboid Table, Submitted on 16 May 2017 (v1), last revised 4 Sep 2017 (v2) https://arxiv.org/abs/1705.05929 los 155.151 ortoedros que había encontrado con el borde entero más pequeño menor de 157.000.000.000: 56.575 eran ortoedros de Euler (cuerpo), 15.449 eran ortoedros de arista con una longitud de arista en forma de número complejo, 30.081 eran ortoedros de arista, y 53.046 eran ortoedros de cara.
Las soluciones más pequeñas para cada tipo de ortoedro casi perfecto, dadas como aristas, diagonales de cara y la diagonal espacial : Ortoedro cuerpo: Ortoedro arista: Ortoedro cara: Ortoedro cuerpo complejo: Ortoedro arista complejo: Ortoedro cara complejo:
Paralelepípedo perfecto Un paralelepípedo perfecto posee aristas, diagonales de cara y diagonales espaciales de longitud entera, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un ortoedro perfecto es un caso especial de un paralelepípedo perfecto. En 2009, se hallaron docenas de paralelepípedos perfectos,. respondiendo una pregunta abierta por Richard Guy. Un pequeño ejemplo tiene los bordes 271, 106 y 103, las diagonales de cara 101, 266, 255, 183, 312 y 323, y las diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272. Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares.
Véase también Cuaterna pitagórica
Referencias
Bibliografía
Categoría:Ecuaciones diofánticas Categoría:Teorema de Pitágoras Categoría:Problemas matemáticos no resueltos Categoría:Problemas sin resolver en teoría de números