400px|right|thumb|Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles: además de la geometría euclidea de curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas no homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades riemannianas generales. Se denomina geometría no euclidiana, o no euclídea, a cualquier sistema formal de geometría cuyos postulados y proposiciones difieren en algún asunto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo sistema de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles, pueden distinguirse tres formulacionesP. S. Alexándrov ¿Qué es la geometría no euclídea? de geometrías: miniaturadeimagen|Tres «bloques» con superficies variables, sobre los que se «dibujan» un punto y algunas líneas para demostrar la geometría elíptica euclidiana y la hiperbólica La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero (es decir se supone en un espacio plano por lo que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo da siempre 180°). La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa (en esta geometría, por ejemplo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es inferior a 180°). La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva (en esta geometría, por ejemplo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es mayor a 180°).
Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio-tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo. Principios La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas. El quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas, es equivalente al postulado de Playfair, que afirma que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier recta dada y un punto A, que no está en , hay exactamente una recta que pasa por A que no interseca a . En la geometría hiperbólica, por el contrario, hay infinitamente muchas líneas a través de A que no intersecan , mientras que en la geometría elíptica, cualquier línea a través de A interseca .
Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas indefinidamente extendidas en un plano bidimensional que son ambas perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano): En la geometría euclídea, las rectas permanecen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una recta trazada perpendicular a una recta en cualquier punto intersecará a la otra recta y la longitud del segmento de recta que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen como paralelas. En geometría hiperbólica, se "curvan" alejándose unas de otras, aumentando la distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; estas líneas se denominan a menudo ultraparalelas. En la geometría elíptica, las rectas se "curvan" entre sí y se intersecan.
Historia
Antecedentes La geometría euclidiana, llamada así por el matemático griego Euclides, incluye algunas de las matemáticas más antiguas conocidas, y las geometrías que se desviaban de ella no fueron ampliamente aceptadas como legítimas hasta el .
El debate que condujo finalmente al descubrimiento de las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como Euclides escribió Elementos de Euclides. En los Elementos, Euclides parte de un número limitado de supuestos (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados) y trata de demostrar todos los demás resultados (proposiciones) de la obra. El más notorio de los postulados se conoce a menudo como "el quinto postulado de Euclides", o simplemente el postulado paralelo, que en la formulación original de Euclides es: Si una recta cae sobre dos rectas de tal manera que los ángulos interiores del mismo lado son juntos menores que dos ángulos rectos, entonces las rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que están los ángulos menores que los dos ángulos rectos.. Otros matemáticos han ideado formas más sencillas de esta propiedad. Independientemente de la forma del postulado, sin embargo, parece consistentemente más complicado que otros postulados de Euclides: 1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Producir [extender] una recta finita continuamente en línea recta.
3. Para describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio].
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Durante al menos mil años, los geómetras se inquietaron por la dispar complejidad del quinto postulado, y creyeron que podía demostrarse como un teorema a partir de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción, entre ellos Ibn al-Haytham (Alhazen, ), Omar Khayyám (), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (), y Giovanni Girolamo Saccheri ().
Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre los cuadriláteros, incluidos el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri, fueron "los primeros teoremas de la hiperbólica y de las elíptica". Estos teoremas, junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair, desempeñaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Estos primeros intentos de cuestionar el quinto postulado influyeron considerablemente en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, como Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis y Saccheri.Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch, "Geometry", p. 470, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pp. 447-494, Routledge, Londres y Nueva York: Sin embargo, todos estos primeros intentos de formular una geometría no euclidiana proporcionaron pruebas defectuosas del postulado de las paralelas, conteniendo suposiciones que eran esencialmente equivalentes al postulado de las paralelas. Sin embargo, estos primeros intentos proporcionaron algunas de las primeras propiedades de las geometrías hiperbólica y elíptica.
Khayyam, por ejemplo, intentó derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del Filósofo" (Aristóteles): "Dos rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen".Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", p. 467, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la Historia de la Ciencia Árabe, Vol. 2, pp. 447-494, Routledge, Khayyam consideró entonces los tres casos recto, obtuso y agudo que pueden tomar los ángulos cimeros de un cuadrilátero de Saccheri y tras demostrar una serie de teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtuso y agudo basándose en su postulado y de ahí derivó el postulado clásico de Euclides, del que no se dio cuenta de que era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), que escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, en el que presentaba otra hipótesis equivalente al postulado paralelo. "Revisó esencialmente tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos."Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la Historia de la Ciencia Árabe, Vol. 2, p. 447-494 , Routledge, Londres y Nueva York: Su obra se publicó en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos, entre ellos SaccheriVictor J. Katz (1998), History of Mathematics: An Introduction, p. 270-271, Addison-Wesley, : <blockquote>"Pero en un manuscrito probablemente escrito por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en los pensamientos posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La importancia de este último trabajo es que se publicó en Roma en 1594 y fue estudiado por los geómetras europeos. En particular, se convirtió en el punto de partida para el trabajo de Saccheri y, en última instancia, para el descubrimiento de la geometría no euclidiana".<blockquote> quien criticó este trabajo así como el de Wallis.MacTutor's Giovanni Girolamo Saccheri
Giordano Vitale, en su libro Euclide restituo (1680, 1686), utilizó el cuadrilátero de Saccheri para demostrar que si tres puntos equidistan de la base AB y de la cúspide CD, entonces AB y CD equidistan en todas partes.
En una obra titulada Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides liberado de todos los defectos), publicada en 1733, Saccheri descartó rápidamente la geometría elíptica como posibilidad (algunos otros axiomas de Euclides deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se dedicó a demostrar un gran número de resultados en geometría hiperbólica.
Finalmente llegó a un punto en el que creía que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Parece que su afirmación se basaba en presupuestos euclidianos, ya que no existía ninguna contradicción lógica. En este intento de demostrar la geometría euclidiana, descubrió involuntariamente una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta de ello.
En 1766 Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que ahora se conoce como cuadrilátero de Lambert, un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo fuera obtuso, como habían hecho Saccheri y Khayyam, y procedió a demostrar muchos teoremas bajo la suposición de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que disminuye el área del triángulo, y esto le llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó esta idea más lejos.
En esta época estaba muy extendida la creencia de que el universo funcionaba según los principios de la geometría euclidiana.Una excepción notable es David Hume, que ya en 1739 contemplaba seriamente la posibilidad de que nuestro universo no fuera euclidiano; véase David Hume (1739/1978) A Treatise of Human Nature, L.A. Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), pp. 51-52. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant, formalizada posteriormente (a principios del ) e independientemente por varios autores, tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai, Eugenio Beltrami y Ferdinand Schweickard.
Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.
La geometría euclidiana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos.