0,999…

360px|thumb|right En matemáticas, 0,999... (siendo la coma un separador decimal) es el número decimal periódico que denota al número 1. En otras palabras, los símbolos «0,999...» y «1» son dos representaciones distintas del mismo número real.0,9 periódico también se puede escribir como o o o bien como un seguido de tantos 9's como se desee en la parte decimal periódica. Las demostraciones matemáticas de esta igualdad han sido formuladas con diferentes grados de rigor, dependiendo del método elegido para definir los números reales, las hipótesis y suposiciones de partida, el contexto histórico o el público al que se dirige.

El hecho de que ciertos números reales puedan ser representados por más de una secuencia de dígitos no se limita al sistema decimal únicamente. El mismo fenómeno ocurre en todas las bases enteras, y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en bases no enteras. Ni siquiera se trata de un fenómeno restringido al número 1: todo número decimal finito no nulo tiene un gemelo con infinitos nueves, por ejemplo: 2 y 1,999... representan al número natural dos; 28,3287 y 28,3286999... también representan al mismo número decimal. Por simplicidad, el decimal finito es casi siempre la representación preferida, lo que puede contribuir a una equivocada interpretación de que es la única representación. Por otra parte, la forma no terminal de un número permite estudiar más fácilmente los patrones de la expansión decimal de ciertas fracciones; en base tres, por ejemplo, permite expresar la estructura ternaria del conjunto de Cantor, un fractal simple. La representación múltiple debe tomarse en cuenta en la demostración clásica de la no numerabilidad de los números reales. De manera más general, cualquier sistema de numeración posicional de los números reales, contiene una cantidad infinita de números con representaciones múltiples.

La igualdad 0,999... = 1 ha sido aceptada desde hace tiempo por los matemáticos y se la incluye en los libros de texto. No ha sido hasta las últimas décadas en que los enseñantes de matemática se han inclinado por estudiar la percepción de esta igualdad entre los estudiantes, muchos de los cuales inicialmente la cuestionan o la niegan. Muchos se persuaden por una apelación a la autoridad de los libros de texto y los profesores, o por razonamientos aritméticos. Sin embargo, algunos no se conforman, por lo que buscan una justificación ulterior.

La igualdad 0,999... = 1 está íntimamente relacionada con la ausencia de números reales infinitesimales no nulos. Algunos sistemas de numeración alternativos, como los números hiperreales, sí contienen infinitesimales no nulos; en estos sistemas, a diferencia de los reales, puede haber números cuya diferencia con el 1 sea menor que cualquier número racional. Otros sistemas, como por ejemplo los números p-ádicos, tienen otra forma de «expansión decimal», que se comporta de manera muy distinta a la expansión de los números reales. Aunque los números reales son el objeto de estudio más común en el campo del análisis matemático, tanto los hiperreales como los p-ádicos tienen aplicaciones en esta área.

Demostraciones algebraicas Fracciones y división euclidiana

Una razón por la que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, es que permite la representación de fracciones. Utilizando el algoritmo de la división, una simple división de enteros como 1/9, se convierte en el decimal periódico 0,111..., en el que los dígitos se repiten sin fin. Este ejemplo se utiliza para dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.

La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada dígito, así 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo que implica que 0,999... = 1:Peressini p.186.

Una alternativa, también muy frecuente, es utilizar 1/3 = 0,333... y multiplicar por 3.

Multiplicación por 10 Cuando un número escrito en notación decimal se multiplica por 10, los dígitos no cambian pero el separador decimal se mueve un lugar a la derecha. Así, 10 × 0,999... = 9,999..., que es 9 unidades mayor que el número original. Para comprobarlo, basta restar 0,999... de 9,999..., los dígitos a la derecha del separador decimal se cancelan uno a uno, y el resultado es 9 − 9 = 0 para cada uno de estos dígitos:

Discusión

Aunque estas pruebas demuestran que 0,999... = 1, el pretender que «explican» la ecuación, depende de las expectativas de la audiencia atendida. En aritmética elemental, estas pruebas ayudan a explicar por qué 0,999... = 1, o por qué 0,333... < 0,34. En álgebra elemental, estas demostraciones explican por qué el método general de conversión entre fracciones y números decimales funciona. Pero las pruebas no aclaran la relación fundamental entre los decimales y los números a los cuales representan, donde subyace la pregunta de cómo dos decimales distintos pueden ser, de hecho, iguales.Este argumento se encuentra en Peressini y Peressini p. 186. William Byers argumenta que el estudiante que acepta que 0,999... = 1 basado en estas pruebas, pero que no ha resuelto la ambigüedad, no ha entendido realmente la ecuación.Byers pp. 39–41. Según Fred Richman, el primer argumento «toma su fuerza del hecho de que la mayor parte de la gente ha sido adoctrinada para aceptar la primera ecuación sin pensarlo».Richman p. 396.

Una vez que se ha definido un esquema representativo, se puede utilizar para justificar las reglas de la aritmética decimal utilizada en estas demostraciones. Más aún, se puede demostrar directamente que los decimales 0,999... y 1,000... representan el mismo número real; esta construcción por definición se explica más abajo.

Demostraciones analíticas

Como la cuestión de 0,999... no afecta al desarrollo formal de las matemáticas, se puede aplazar hasta que se demuestren los teoremas estándares del análisis real. Un requisito es caracterizar los números reales que se pueden escribir en notación decimal, compuesto por un signo opcional, una secuencia finita de cualquier número de dígitos que forman la parte entera, un separador decimal y una secuencia de dígitos que forman la parte fraccionaria. Para hablar de 0,999... la parte entera se puede resumir como b0 y se pueden descuidar negativos, así una expansión decimal tiene la forma

Es vital que la parte fraccionaria, a diferencia de la parte entera, no esté limitada a un número finito de dígitos. Esto es una notación posicional, así por ejemplo, el cinco en 500 contribuye diez veces más que el 5 en 50, y el 5 en 0,05 contribuye una décima parte del 5 en 0,5.

Series infinitas y sucesiones

El desarrollo quizá más común de las expansiones decimales, es definirlas en términos de series infinitas. En general:

Para 0,999... se puede aplicar el teorema de convergencia de las series geométricas:Rudin p. 61, Theorem 3.26; J. Stewart p. 706

Si entonces

Dado que 0,999... es una suma de este tipo, con , el teorema resuelve rápidamente la cuestión:

Esta demostración (de hecho, que 10 es igual a 9,999...) aparece ya en 1770 en Elementos de álgebra de Leonhard Euler.Euler p.170.

right|thumb|250px|Límites: el intervalo unidad, incluyendo la sucesión de fracciones (en base 4): que converge a 1.

La suma de series geométricas en sí, son un resultado anterior a Euler. Una demostración típica del utiliza una manipulación término-a-término similar a la demostración algebraica antes expuesta; en 1811, el libro de texto de Bonnycastle Una Introducción al Álgebra utiliza una serie geométrica de este tipo para justificar la misma maniobra sobre 0,999....Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177. Una reacción del contra tales métodos de adición liberales resultó en la definición que aún domina hoy: la suma de una serie se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula explícitamente esta sucesión; se puede encontrar en cualquier introducción al cálculo o el análisis basado en la demostración.J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter y Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31.

Una sucesión (x0, x1, x2, ...) tiene por límite x si la distancia |x − xn| se vuelve arbitrariamente pequeña a medida que n aumenta. La afirmación misma 0,999... = 1 puede ser interpretada y demostrada como límite:El límite sigue, por ejemplo, de Rudin p. 57, Teorema 3.20e. Para un enfoque más directo, ver también Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Sección 8.1, ejemplo 2(a), ejemplo 6(b).

El último paso, que , suele justificarse por el axioma de la propiedad arquimediana de los números reales. Esta actitud hacia basada en límites es por cierto más evocadora, aunque mucho menos precisa. Por ejemplo, en el libro de texto de 1846 The University Arithmetic se explica: «0,999 +, continuando al infinito = 1, porque cada 9 anexado acerca el valor aún más a 1»; el texto de 1895 Arithmetic for Schools dice «...cuando se toma una gran cantidad de 9s, la diferencia entre 1 y 0,99999... se vuelve inconcebiblemente pequeña».Davies p. 175; Smith y Harrington p. 115. Tales enfoques heurísticos suelen ser interpretados por los estudiantes como que 0,999... en sí es menor que 1.

Intervalos encajados y cotas superiores

right|thumb|250px|Intervalos encajados: en base 3, 1 = 1,000... = 0,222...

La definición de series expuesta más arriba es una manera sencilla de definir un número real denotado por una expansión decimal. El proceso opuesto proporciona una visión complementaria: para un número real dado, definir la expansión decimal que lo denota.

Si un número real x pertenece al intervalo cerrado [0 ; 10] (i.e, es mayor o igual a cero y menor o igual a diez), se puede dividir este intervalo en diez partes que se superpongan únicamente en las extremidades: [0 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 3], y así hasta [9 ; 10]. El número x debe pertenecer a alguno de ellos; si pertenece a [2 ;3], se anota el dígito «2» y se subdivide ese intervalo en [2 ; 2,1], [2,1 ; 2,2], ..., [2,8 ; 2,9], [2,9 ; 3]. Continuando este proceso se obtiene una sucesión infinita de intervalos encajados, rotulados por una sucesión infinita de dígitos b0, b1, b2, b3, ..., que se escriben

Con este formalismo, las identidades 1 = 0,999... y 1 = 1,000... reflejan, respectivamente, el hecho de que el 1 esté tanto en el intervalo [0 ; 1] como en [1 ; 2], por lo que se puede elegir cualquiera de los dos intervalos al escribir los dígitos. Para asegurarse de que esta notación no abuse del signo «=», se requiere de un método que permita reconstruir un único número real para cada decimal, como por ejemplo los límites; otras construcciones abordan el tema del ordenamiento.Beals p. 22; I. Stewart p. 34.

Una opción directa es el teorema de los intervalos encajados, que garantiza que, dada una sucesión de intervalos cerrados encajados, cuya longitud se puede hacer arbitrariamente pequeña, los intervalos contienen exactamente un número real en su intersección. Así, b0,b1b2b3... queda definido como el único número contenido en todos los intervalos [b0 ; b0 + 1], [b0,b1 ; b0,b1 + 0,1], y así sucesivamente. De este modo, 0,999... es el único número real que está en todos los intervalos [0 ; 1], [0,9 ; 1], [0,99 ; 1], y [0,99...9 ; 1] para cada cola finita de 9s. Puesto que el 1 es un elemento de cada uno de estos intervalos, 0,999... = 1.Bartle and Sherbert pp. 60–62; Pedrick p. 29; Sohrab p. 46.

El teorema de los intervalos surge por lo general como una característica aún más fundamental de los números reales: la existencia de la mínima cota superior o supremo. Para explotar directamente estos objetos, se define b0,b1b2b3... como la mínima cota superior del conjunto de aproximantes {b0 ; b0,b1 ; b0,b1b2 ; ...}.Apostol pp. 9, 11–12; Beals p. 22; Rosenlicht p. 27. Se puede demostrar que esta definición (o la definición de los intervalos encajados) es consistente con el proceso de subdivisión, lo cual implica 0,999... = 1 nuevamente. Tom Apostol concluye,