En física, la conjetura de Painlevé es una proposición sobre las singularidades entre las soluciones del problema de los n cuerpos, que afirma que existen singularidades sin colisiones para n ≥ 4.Florin N. Diacu. Painlevé's Conjecture. The Mathematical Intelligencer. Vol 13, no. 2, 1993Florin Diacu, Philip Holmes, Celestial Encounters: The Origins of Chaos and Stability. Princeton University Press, 1996
Fue planteada en 1895 por el matemático y político francés Paul Painlevé (1863-1933).
La conjetura ha sido probada para n ≥ 5 por Jeff Xia.Zhihong Xia. The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems. Annals of Mathematics. Second Series, Vol. 135, No. 3 (May, 1992), pp. 411–468Donald G. Saari and Zhihong (Jeff) Xia. Off to Infinity in Finite Time. Notices of the AMS, vol 42, no. 5, 1993, pp. 538–546 El caso con 4 partículas sigue siendo un problema abierto.Edward Belbruno. Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics. Princeton University Press, 2004 p. 8
Antecedentes Las soluciones del problema de los n cuerpos (donde M son las masas y U indica el potencial gravitatorio) se dice que tienen una singularidad si existe una secuencia de instantes que convergen a un finito donde . Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún instante finito en el tiempo.
Una "singularidad de colisión" se produce si tiende a un límite definido cuando . Si el límite no existe, la singularidad se denomina singularidad de pseudocolisión o sin colisión.
Paul Painlevé demostró que para n = 3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finito experimenta una singularidad con colisión. Sin embargo, no pudo extender este resultado más allá de 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura de que: Para n ≥ 4 el problema de los n cuerpos admite singularidades sin colisión.P. Painlevé, Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles, ParisÖ Hermann, 1897Oeuvres de Paul Painlevé, Tome I, Paris Ed. Centr. Nat. Rech. Sci., 1972
Desarrollo Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si existe una singularidad de colisión, entonces tiende a un límite definido como , donde es el momento de inercia.H. von Zeipel, Sur les singularités du problème des corps, Arkiv för Mat. Astron. Fys. 4, (1908), 1–4. Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula se hace ilimitada (puesto que las posiciones permanecen finitas hasta este punto).
Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que una singularidad sin colisión puede darse en el problema co-lineal de 4 cuerpos (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero solo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas).J. Mather and R. McGehee, Solutions of the collinear four-body problem which become unbounded in finite time, Dynamical Systems Theory and Applications (J. Moser, ed.), Berlin: Springer-Verlag, 1975, 573–589.
Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas las condiciones iniciales (en el sentido de la medida de Lebesgue) en el plano o el espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones sin singularidad.Donald G. Saari. A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics, J. Differential Equations 26 (1977), 80–111.
En 1984, Joe Gerver dio un argumento para una singularidad de no colisión en el problema planar de 5 cuerpos sin colisiones.J. L. Gerver, A possible model for a singularity without collisions in the five-body problem, J. Diff. Eq. 52 (1984), 76–90. Posteriormente encontró una prueba para el caso de cuerpo 3n .J. L. Gerver, The existence of pseudocollisions in the plane, J. Diff. Eq. 89 (1991), 1-68.
Por último, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de 5 cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión.
Joe Gerver ha facilitado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerposJoseph L. Gerver, Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?, Exp. Math. (2003), 187–198. pero en la actualidad no existe ninguna prueba formal.
Referencias
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