thumb|Prueba animada de la fórmula que da la suma de los n primeros números enteros . thumb|upright=1.35|Las primeras cuatro sumas parciales de la serie . La parábola es su asíntota "suavizada"; su cruce con el eje y es infinito. |alt=Una gráfica que muestra la serie con cajar en niveles y una parábola que baja justo por debajo del eje y La suma infinita cuyos términos son los números naturales es una serie divergente. La n-ésima suma parcial de la serie es el número triangular
que incrementa sin límite mientras n tiende al infinito. Ya que la sucesión de sumas parciales no converge a un límite finito, la serie no tiene una suma.
Aunque a primera vista parece que la serie no tiene ningún valor significativo, puede ser manipulada para producir varios resultados matemáticamente interesantes, algunos de los cuales tienen aplicaciones en otras áreas como el análisis complejo, la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas. Varios métodos de suma se usan en matemáticas para asignarle valores numéricos a series divergentes. En particular, los métodos de regularización de la función zeta y el sumatorio de Ramanujan le asignan un valor de , que está expresado por una fórmula famosa:
donde el lado izquierdo debe interpretarse como el valor obtenido utilizando uno de los métodos de suma antes mencionados y no como la suma de una serie infinita en su significado habitual. Estos métodos tienen aplicaciones en otros campos como el análisis complejo, la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas.Tong, David (February 23, 2012). "String Theory". pp. 28–48. arXiv:0908.0333 [hep-th].
En una monografía sobre la teoría moonshine, el matemático Terry Gannon, de la Universidad de Alberta, califica esta ecuación de "una de las fórmulas más notables de la ciencia".
Sumas parciales thumb|Los primeros seis números triangulares
Las sumas parciales de la serie son , etc. La n-ésima suma parcial está dada por una fórmula simple:
Esta ecuación ya era conocida por los Pitagóricos desde al menos el . Los números que cumplen esta forma se llaman números triangulares porque pueden ser acomodados para formar un triángulo equilátero.
La sucesión infinita de números triangulares diverge hacia +∞, así que por definición la serie infinita también diverge a +∞. La divergencia es una simple consecuencia de la forma de la serie: los términos no se acercan a cero, así que la serie diverge por el test del término.
Sumabilidad Entre las series clásicas divergentes, es relativamente difícil de manipular hacia un valor finito. Muchos métodos de suma se usan para asignar valores numéricos a las series divergentes, algunos son más poderosos que otros. Por ejemplo, la sumación de Cesàro es un método reconocido que suma la serie de Grandi, la serie levemente divergente , a . La suma de Abel es un método más poderoso que no solo suma la serie de Grandia a , sino que también suma la serie más compleja a .
A diferencia de las series anteriores, no se puede sumar a través de la sumación de Cesàro ni la de Abel. Esos métodos funcionan en series divergentes que oscilan, pero no pueden producir una respuesta finita para series que divergen a +∞.Hardy p.10 La mayoría de las definiciones más elementales de la suma de una serie divergente son estables y lineales, y cualquier método que es tanto estable y lineal no puede sumar a un valor finito; véase más abajo. Se requieren métodos más avanzados, como la regularización de la función zeta o el sumatorio de Ramanujan. También es posible argumentar el valor de − usando heurísticas grosso modo relacionadas con estos métodos.
Heurística thumb|upright=1.8|Un pasaje del primer cuaderno de Ramanujan, describiendo la "constante" de la serie
Srinivasa Ramanujan presentó dos derivaciones de "" en el capítulo 8 de su primer cuaderno. la derivación más simple y menos rigurosa ocurre en dos pasos, de la siguiente forma.
La primera intuición clave es que la serie de números positivos es parecida a la serie alternada . La última serie también es divergente, pero es más fácil trabajar con ella; hay varios métodos clásicos que le asignan un valor, que han sido explorados desde el siglo . publicado originalmente como
A fin de transformar la serie en , es posible restarle 4 al segundo término, 8 al cuarto término, 12 al sexto término, y continuar. La cantidad total que debe ser restada es , que es 4 veces la serie original. Estas relaciones pueden ser expresadas con un poco de álgebra. Cualquiera que sea la "suma" de la serie, se puede llamar Entonces, se multiplica esta ecuación por 4 y se resta la segunda ecuación de la primera:
La segunda intuición clave es que la serie alternada es la expansión formal de la serie de potencias de la función , donde x se define como 1. De acuerdo con esto, escribe Ramanujan:
Al dividir ambos lados por -3, se obtiene c = −.
Hablando de forma general, es incorrecto manipular series infinitas como si fueran sumas finitas. Por ejemplo, si se insertaran ceros en posiciones arbitrarias de una serie divergente, es posible llegar a resultados que no son consistentes consigo mismos, menos aún con otros métodos. En particular, el paso no está justificado por la ley de la identidad aditiva. Como ejemplo extremo, añadir un solo cero al inicio de la serie puede llevar a resultados inconsistentes.
Una forma de remediar esta situación, y de limitar los sitios donde se pueden insertar los ceros, es llevar un registro de cada término en la serie al adjuntar una dependencia sobre alguna función. En la serie , cada término n es solo un número. Si el término n es "promovido" a una función n−s, donde s es una variable compleja, entonces se puede asegurar que solo se añaden términos similares. La serie resultante puede ser manipulada con mayor rigor, y la variable s puede ser definida como −1 después. La implementación de esta estrategia se conoce como regularización de la función zeta.
Regularización de la función zeta thumb|upright=1.4|Gráfica de ζ(s). Para , la serie converge y . La continuación analítica alrededor del polo en lleva a una región de valores negativos, incluyendo
En la regularización de la función zeta, la serie es reemplazada por la serie . La segunda serie es ejemplo de una serie de Dirichlet. Cuando la parte real de s es mayor que 1, la serie Dirichlet converge, y su suma es la función zeta de Riemann ζ(s). Por otra parte, la serie de Dirichlet diverge cuando la parte real de s es menor que o igual a 1, así que, en particular, la serie que resulta de declarar s = –1 no converge. El beneficio de introducir la función zeta de Riemann es que puede ser definida para otros valores de s por continuación analítica. Entonces es posible definir la suma zeta regularizada de para ser ζ(−1).
Desde este punto, hay varias formas de probar que Un método, sobre las líneas de razonamiento de Euler, usa la relación entre la función zeta de Riemann y la función eta de Dirichlet η(s). La función zeta está definida por una serie alternada de Dirichlet, así que este método es paralelo a la heurística previa. Donde ambas series de Dirichlet converge, una tiene las identidades:
La identidad sigue siendo verdadera cuando ambas funciones se extienden por continuación analítica para incluir valores de s para los cuales la serie arriba mencionada diverge. Sustituyendo , se obtiene Ahora, calculando η(−1) es una tarea más sencilla, ya que la función eta es igual a la suma de Abel de las serie que la define, que es un límite de un lado:
Al dividir ambos lados por −3, se obtiene
Regularización de corte
thumb|El comportamiento asintótico del "suavizado". El cruce de la parábola con el eje y es −. |alt=Un gráfico que muestra una parábola que baja justo por debajo del eje y
El método de regularización usando una función de corte puede "suavizar" la serie para llegar a −. El "suavizado" es un puente conceptual entre la regularización de la función zeta, con su dependencia en el análisis complejo, y el sumatorio de Ramanujan, con su atajo a la fórmula de Euler-Maclaurin. En lugar de ello, el método opera directamente en transformaciones conservativas de la serie, usando métodos del análisis real.
La idea es reemplazar la serie discreta de mal comportamiento con una versión suavizada , donde f es una función de corte con propiedades apropiadas. La función de corte debe ser normalizada a ; esto es una normalización diferente a la usada en ecuaciones diferenciales. La función de corte debe tener suficientes derivadas acotadas para suavizar los picos o "arrugas" de la serie, y debería decaer a 0 más rápido que lo que crece la serie. Por conveniencia, se puede requerir que f sea una función continuamente diferenciable, acotada y con soporte compacto. Entonces se puede probar que esta suma continua es asintótica a , donde C es una constante que depende de f. El término constante de la expansión asintótica no depende de f: es necesariamente el mismo valor dado por la continuación analítica, −.
Sumatorio de Ramanujan La suma de Ramanujan de también es −. Ramanujan escribió en su segunda carta a G. H. Hardy, con fecha del 27 de febrero de 1913:
El sumatorio de Ramanujan es un método para aislar el término constante en la fórmula de Euler-Maclaurin para la suma parcial de una serie. Para una función f, la suma clásica de Ramanujan para la serie se define de la siguiente forma:
donde f(2k−1) es la (2k − 1)-ésima derivada de f y B2k es el 2k-ésimo número de Bernoulli: , , y así sucesivamente. Estableciendo , la primera derivada de f es 1, y todos los demás términos desaparecen, y entonces:
Para evitar inconsistencias, la teoría moderna de sumas de Ramanujan requiere que f sea "regular" en el sentido que las derivadas de órdenes mayores de f decaigan lo suficientemente rápido para que el resto de los términos en la fórmula Euler-Maclaurin tiendan a 0. Ramanujan tácitamente asumió esta propiedad. El requisito de regularidad previene el uso de un sumatorio de Ramanujan sobre series espaciadas como , porque no hay función regular que tome esos valores. En lugar de ello, una serie así debe ser interpretada por la regularización de la función zeta. Por esta razón, Hardy recomienda "gran precaución" al aplicar las sumas de Ramanujan de series conocidas para encontrar las sumas de series relacionadas.Hardy p.346
Fracaso de los métodos estables de sumación lineal
Un método de sumación que es estable y lineal no puede sumar la serie a ningún valor finito. (Estable quiere decir que añadir un término al inicio de la serie incrementa la suma por esa misma cantidad.) Esto se puede ver de la siguiente forma. Si 1 + 2 + 3 + ⋯ = x entonces añadiendo 0 a ambos lados da 0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x por estabilidad. Por linearidad, uno puede sustraer la segunda ecuación de la primera para dar 1 + 1 + 1 + ⋯ = x – x = 0. Añadiendo 0 a ambos lados de nuevo da 0 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = 0, y sustrayendo las últimas dos series da 1 + 0 + 0 + ⋯ = 0 lo cual contradice la estabilidad.
Los métodos arriba mencionados para sumar No son ni estables ni lineales.
Física
En la teoría de cuerdas bosónica, el intento es computar los posibles niveles de energía de una cuerda, en particular la del nivel de energía más bajo. De manera informal, cada armónico de la cuerda se puede ver como una colección de D − 2 osciladores armónicos cuánticos, uno por cada dirección transversal, donde D es la dimensión del espacio-tiempo. Si la frecuencia fundamental de oscilación es ω entonces la energía en un oscilador que contribuye al n-ésimo armónico es . Así que usando la serie divergente, la suma sobre todos los armónicos es −. Últimamente es este hecho, combinado con el teorema de Goddard-Thorn, que lleva a la teoría de cuerdas bosónica a fracasar en ser consistente con dimensiones que no sean 26.