En geometría, el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, cumple la relación siguiente:....
o de forma equivalente
donde R y r denotan el circunradio y el inradio (los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita respectivamente).
El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767,. aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746..
Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:
que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo equilátero..
Demostración
Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC. Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL. En consecuencia, 2Rr = AI × BL. Únase BI. Debido a que ∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,
∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,
se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr. Extendiendo OI de modo que cruce la circunferencia circunscrita en P y Q; entonces PI × QI = AI × IL = 2Rr, así que (R + d)(R − d) = 2Rr, entonces d2 = R(R - 2r).
Versión fuerte de la desigualdad Una versión más fuerte es
Véase también Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos. Teorema de clausura de Poncelet, mostrando que hay una infinidad de triángulos con el mismo R, r, y d. Anexo:Desigualdades del triángulo
Referencias
Categoría:Geometría del triángulo Categoría:Desigualdades geométricas Categoría:Matemáticas