En matemáticas, se define una sucesión de hiperoperaciones como una secuencia infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones) que se inicia con la operación binaria exponenciación (n = 3), siguiendo con las operaciones binarias de tetración (n = 4), pentación (n = 5), y hexación (n = 6), después de lo cual la sucesión continúa con más operaciones binarias, que se extienden más allá de la potenciación, mediante la asociatividad por el lado derecho. Para las operaciones más allá de la potenciación, Reuben Goodstein ideó nombrar el n-ésimo miembro de esta sucesión añadiendo al prefijo griego de n el sufijo -ción (como tetración (n = 4), pentación (n = 5), hexación (n = 6), etc.) y puede ser escrito mediante el uso de (n − 2) flechas según la notación de flechas de Knuth.
En la notación de Knuth, cada hiperoperación puede ser entendida recursivamente en términos de la anterior mediante:
También puede definirse de acuerdo a una regla de recursividad con parte de la expresión anterior, como en la versión flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann:
En notación compacta, estas dos expresiones toman la forma:
y
Estas notaciones pueden ser usadas fácilmente para mostrar números mucho más grandes que los representables con la notación científica, tales como el número de Skewes y el googolplex, pero hay algunos números que incluso no se pueden mostrar fácilmente con esta notación, tales como el número de Graham y el ÁRBOL(3).
Esta repetición de la regla es común a muchas variantes de hiperoperaciones (véase a continuación).
Definición La sucesión de hiperoperaciones es la sucesión de operaciones binarias , que se define recursivamente como sigue:
Téngase en cuenta que para n = 0, la operación binaria esencialmente se reduce a una única operación (función sucesor) ignorando el primer argumento.
Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones básicas de la aritmética del sucesor (que es una única operación), adición, multiplicación y potenciación, respectivamente, como
para todos los enteros no negativos y .
Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de la potenciación? Se ha definido la multiplicación de modo que , y se define la potenciación de modo que por lo que parece lógico definir la siguiente operación, la tetración de manera que con una torre formada por tres veces . De forma análoga, la pentación de será .
Las H operaciones para n ≥ 3 pueden ser escritas en la notación flecha de Knuth como:
...
...
La notación de Knuth puede ser extendida a los índices negativos ≥ -2 de modo tal que esté de acuerdo con toda la sucesión de hiperoperaciones, excepto por el retraso en la indización:
Las hiperoperaciones por lo tanto pueden ser vistas como una respuesta a la pregunta «¿qué es lo siguiente?» en la sucesión: sucesor, adición, multiplicación, potenciación, y así sucesivamente. Tomando nota de que:
la relación entre las operaciones aritméticas básicas se ilustra, permitiendo que la mayor de las operaciones sea definida de forma natural, como se muestra anteriormente. Los parámetros de la jerarquía de hiperoperaciones se refieren a veces por el análogo de la potenciación; así, a es la base, b es el exponente (o hiperexponente), y n es el rango (o grado). En general, puede leerse como "la b-ésima n-ación de a", de modo que se lee como "la 9.ª tetración de 7", y se lee como "la 789.ª 123-ación de 456".
En términos coloquiales, las hiperoperaciones son maneras de componer números que aumentan en un crecimiento basado en la repetición de la anterior hiperoperación. Los conceptos de sucesor, adición, multiplicación y potenciación son todos hiperoperaciones; el sucesor de operación (producción de x+1 en x) es el más primitivo, el operador especifica el número de veces que 1 se añade a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que un número se añade a sí mismo, y la exponenciación se refiere al número de veces que un número se multiplica por sí mismo.
Una forma alternativa de escribir hiperoperaciones es la notación compacta para . En esta notación, la exponenciación se denota , la tetración se denota (de modo que ), la pentación se denota , y así sucesivamente. Las hiperoperaciones también pueden expresarse usando la notación flecha de Knuth. En esta notación, representa la función de exponenciación , representa la tetración, o representa la pentación , y más generalmente para . Otra alternativa es la notación de flechas encadenadas de Conway. En esta notación, se tiene , de modo que (por ejemplo) ..
Ejemplos Esta es una lista de las primeras siete (0 a 6) hiperoperaciones (obsérvese que en este artículo, se define 0⁰ como 1).
n OperaciónHn(a, b) Definición Nombres Dominio 0 o bien hiper0, incremento, sucesor, «ceración» arbitrario 1 o bien hiper1, adición arbitrario 2 o bien hiper2, multiplicación arbitrario 3 o bien o bien hiper3, potenciación b real, con algunas extensiones multivaluadas a números complejos 4 o bien o bien hiper4, tetración a ≥ 0 , b es un entero ≥ −1Sea x = a[n](-1). (Con algunas extensiones propuestas) 5 o bien o bien hiper5, pentación a, b enteros ≥ −1Sea x = a[n](-1). 6o bien hiper6, hexación a, b enteros ≥ −1Sea x = a[n](-1).
Casos especiales Hn(0, b) = b + 1, cuando n = 0 b, cuando n = 1 0, cuando n = 2 1, cuando n = 3 y b = 0Para obtener más detalles, consúltese potencias de cero o cero elevado a cero. 0, cuando n = 3 y b > 0 1, cuando n > 3 y b es par (incluido el 0) 0, cuando n > 3 y b es impar
Hn(1, b) = b, cuando n = 2 1, cuando n ≥ 3
Hn(a, 0) = 0, cuando n = 2 1, cuando n = 0 o n ≥ 3 a, cuando n = 1Hn(a, 1) = 2, cuando n = 0 a + 1, cuando n = 1 a, cuando n ≥ 2
Hn(a, a) = Hn+1(a, 2), cuando n ≥ 1
Hn(a, −1) = 0, cuando n = 0 o n ≥ 4 a − 1, cuando n = 1 −a, cuando n = 2 , cuando n = 3
Hn(2, 2) = 3, cuando n = 0 4, cuando n ≥ 1, fácilmente demostrable recursivamente.
Historia Uno de los primeros análisis sobre hiperoperaciones fue el de Albert Bennett en 1914, que desarrollaron algunos casos de la teoría de la conmutativa de hiperoperaciones (véase hiperoperaciones conmutativas a continuación). Unos 12 años más tarde, Wilhelm Ackermann definió la función
lo que de alguna manera se asemeja a la sucesión de hiperoperaciones.
En su artículo publicado en el año 1947, Reuben Goodstein introdujo la sucesión específica de las operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones, y sugirió también los nombres griegos de tetración, pentación, etc., para la ampliación de las operaciones más allá de la potenciación (ya que se corresponden con los índices 4, 5, etc.). Como una función de tres argumentos, por ejemplo, , la sucesión de hiperoperaciones como un todo, es vista como una versión de la función de Ackermann original — que es recursiva, pero no primitiva recursiva — fue modificada por Goodstein para incorporar la función primitiva sucesor, junto con las otras tres operaciones básicas de la aritmética (adición, multiplicación y potenciación), y para hacer más fluida la extensión de estas operaciones más allá de la potenciación.
La función de Ackermann original de tres argumentos utiliza la misma regla de recursividad que la versión de Goodstein (es decir, la hiperoperación secuencia), pero difiere de la misma de dos maneras. En primer lugar, se define como una sucesión de operaciones a partir de la suma (n = 0) en lugar de la función sucesor, y asignó sus propios índices a la multiplicación (n = 1), la potenciación (n = 2), y así sucesivamente. En segundo lugar, las condiciones iniciales de resultan en , así se distinguen de las hiperoperaciones más allá de la potenciación. La importancia de la b + 1 en la expresión anterior es que = , donde b cuenta el número de operadores (potenciaciones), en vez de contar el número de operandos (a) como la b en , y así sucesivamente para el más alto nivel de las operaciones. (véase el artículo función de Ackermann para obtener más detalles.)
Notaciones Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para las hiperoperaciones. Nombre Notación equivalente a Comentario Notación flecha de Knuth Usada por Knuth (para n ≥ 3), y puede encontrarse en varios textos de referencia. Notación de Goodstein Usada por Reuben Goodstein. Función de Ackermann original Usada por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1) Función de Ackermann–Peter Corresponde a hiperoperaciones de base 2 (a = 2) Notación de Nambiar Usada por Nambiar (para n ≥ 1) Notación caja Usada por Rubtsov y Romerio. Notación de superíndice Usada por Robert Munafo. Notación de subíndice (para lower hyperoperations) Usado por Robert Munafo para las hiperoperaciones inferiores. Notación de operadores (para "operaciones extendidas") Usado para las hiperoperaciones inferiores por John Donner y Alfred Tarski (para n ≥ 1). Notación de corchetes Se usa en muchos foros de internet, conveniente para ASCII. Notación de flecha encadenada de Conway Usada por John Horton Conway (para n ≥ 3) Función de Bowers Usada por Jonathan Bowers (para n ≥ 1)
Generalización Para condiciones iniciales diferentes o reglas de recursión diferentes, pueden resultar operaciones muy diferentes. Algunos matemáticos se refieren a todas esas variantes como ejemplos de hiperoperaciones.
En sentido general, una jerarquía de hiperoperaciones es una familia de operaciones binarias en , indexada por un conjunto , tal que existe donde (adición), (multiplicación), y (potenciación).
Además, si se relaja la última condición (es decir, no hay potenciación), entonces también pueden incluirse las hiperoperaciones conmutativas, descritas más abajo. Aunque se pueda enumerar cada hiperoperación explícitamente, generalmente no es el caso. La mayoría de las variantes incluyen únicamente la funciones sucesoras (o adición) o adición) en su definición y redefinen la multiplicación (y más allá), sobre la base de una sola regla de recursión que se aplica a todas las categorías. Puesto que esto forma parte de la definición de la jerarquía, y no una propiedad de la jerarquía en sí, es difícil de definir formalmente.
Variante partiendo de a En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos que evolucionó gradualmente hacia una función de 2 argumentos que se conoce como la función de Ackermann. La versión original de la función de Ackermann fue menos similar a las modernas hiperoperaciones, debido a sus condiciones iniciales: empezar con para todo n > 2. Él también asignó la adición para n = 0, la multiplicación para n = 1 y potenciación para n = 2, por lo que las condiciones iniciales producen operaciones muy diferentes para la tetración y más allá. n Operación Comentario 0 1 2 3 Una manera de desplazar la tetración. La iteración de esta operación es diferente de la iteración de tetración. 4 No debe confundirse con pentación. Otra condición inicial que se ha utilizado es (donde la base es constante ), debida a Rózsa Péter, que no forma una jerarquía .
VarianteS que comienzan desde 0 En 1984, C. W. Clenshaw y F. W. J. Olver iniciaron el debate sobre el uso de hiperoperaciones para prevenir desbordamientos computacionales en cálculos con coma flotante. Desde entonces, muchos otros autores han renovado su interés en la aplicación de hiperoperaciones a la representación con coma flotante (dado que Hn(a, b) están definidas para b = -1). Al analizar la tetración, Clenshaw y otros asumieron la condición inicial , que crea otra jerarquía de hiperoperaciones. Al igual que en la variante anterior, la cuarta operación es muy similar a la tetración, pero desplazada en uno.
n Operación Comentario 0 1 2 3 4Una forma desplazada de tetración. La iteración de esta operación es muy diferente a la de la tetración iterada. 5No confundir con la pentación.
Hiperoperaciones inferiores Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha. A partir de
define (con ° o subíndice)
con