derecha|250px|thumb|Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre una recta.
En matemática, un vector fijo es un segmento de recta orientado en el espacio euclídeo. La longitud de dicho segmento se denomina módulo del vector, que es siempre un número no negativo. La recta que lo contiene se denomina recta soporte. Cualquiera de las rectas paralelas a esta, o bien sus semirrectas que apuntan en el mismo sentido dado por la orientación del vector, determinan la dirección del vector.En los textos en castellano, es habitual con dirección referirse a una recta (o una familia de rectas paralelas), y con sentido a una de las dos semirrectas (o familias de semirrectas paralelas). Para muchas aplicaciones el punto inicial es irrelevante, en cuyo caso no se hace distinción entre dos vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido (es decir, dos vectores equipolentes entre si); se consideran equivalentes aunque su punto inicial sea diferente. La clase de equivalencia de todos los vectores fijos equipolentes a uno dado se denomina vector libre o simplemente vector.También llamado vector euclidiano o vector geométrico para distinguirlo del concepto más genérico de espacio vectorial o de otras acepciones.
En física los vectores se emplean para describir las magnitudes vectoriales, a diferencia de las magnitudes escalares, que se pueden expresar simplemente con un número. Por ejemplo, para determinar la velocidad de un objeto en movimiento, como un automóvil, no basta con una cantidad en kilómetros o millas por hora (lo que marca el velocímetro, que sería el módulo de la velocidad) sino que es necesario describir también la dirección en la que se produce dicho movimiento. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la fuerza, el desplazamiento o el campo eléctrico.
Un vector fijo queda completamente determinado por un punto inicial y un punto final ; o alternativamente por el punto inicial, el módulo y la dirección. Dado un sistema de coordenadas del espacio -dimensional (un punto origen y una base de vectores), el vector correspondiente (módulo y dirección) queda unívocamente determinado mediante números, llamados componentes del vector. Estos se obtienen al restar, una por una, cada coordenada del punto final menos la correspondiente del punto inicial (). El conjunto de todos los posibles vectores en el espacio -dimensional se denota como , y se compone de todas las -tuplas de números reales. Estos vectores reales se generalizan de forma natural a los vectores complejos, que son -tuplas de números complejos (y cuyo conjunto se denota ).
Dos vectores se pueden sumar, sumando las componentes correspondientes, para obtener un tercero. El vector resultante es el obtenido al concatenar uno a continuación del otro. Un vector también se puede multiplicar por un escalar (un número ), multiplicando cada componente por dicho número. El vector que se obtiene de esta operación tiene la misma dirección, pero su módulo resulta multiplicado por , es decir, se escala por un factor . Juntando ambas operaciones se obtienen combinaciones lineales de vectores.
En álgebra abstracta se define el concepto más general de espacio vectorial sobre un cuerpo : un conjunto dotado de dos operaciones que se comportan como la suma de vectores y el producto por escalares (elementos de ) de los vectores geométricos. En este contexto, un vector se define como un elemento de un espacio vectorial. Los espacios euclídeos de dimensión finita, como el plano o el espacio tridimensional , son casos particulares de este tipo de estructura matemática en lo que se refiere al álgebra (sus dos operaciones). No obstante, la generalización de otras características geométricas de los vectores, como el módulo o el ángulo entre vectores requieren de otras estructuras adicionales (norma, producto escalar...) que no todos los espacios vectoriales poseen.
Conceptos fundamentales en vectores euclídeos Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector euclídeo o geométrico, así como la notación de los mismos, etc. En otra sección más adelante se tratan otro tipo de vectores más generales.
Definición derecha|thumb|Elementos de un vector.
Existen dos formas de definir el concepto de vector: hay una definición analítica, por medio de componentes,Por ejemplo, así lo define . y una definición geométrica, por medio de segmentos orientados.La definición geométrica se puede encontrar en , mientras que presenta ambas simultáneamente. Ambas definiciones son equivalentes, y la conexión entre ambas viene dada por la geometría analítica, que describe puntos del espacio mediante coordenadas.
derecha|250px|thumb|Componentes de un vector en Coordenadas cartesianas. Un vector (real) de dimensión es una -tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como (formado mediante el producto cartesiano de veces el conjunto de números reales). Así, un vector perteneciente al espacio se representa como:
En geometría. un vector fijo del espacio euclidiano es un segmento orientado, definido por un punto inicial u origen y un punto final o extremo. En un vector fijo se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:
Elementos geométricos de un vectorEl punto de aplicación es el punto inicial del segmento orientado.izquierda|300pxEl módulo es la longitud del segmento expresado mediante un número no negativo. Cuando el vector representa una magnitud física, dicha cantidad estará expresada en alguna unidad de medida.izquierda|300pxLa recta soporte o línea de acción es la recta contiene al segmento. El conjunto de todas las rectas paralelas a esta se denomina dirección.izquierda|300pxEl sentido, indicado por la orientación (del punto inicial hacia el punto final), siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte. Se representa gráficamente con una flecha.izquierda|250px
Dos vectores fijos se consideran equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido. La relación entre vectores fijos dada por «ser equipolente» es una relación de equivalencia, y la clase de todos los vectores equipolentes a uno dado se denomina vector (o vector libre). En cierto modo, un vector se puede desplazar libremente y fijarse a cualquier punto del espacio, pero sin desviarlo, invertirlo o escalarlo. Esto es porque se puede tomar cualquiera los vectores fijos de la clase de equivalencia como representante del vector libre.
En física, a veces es preciso considerar el punto de aplicación de la magnitud vectorial considerada, o al menos su recta de acción. En este último caso, la magnitud se describe mediante un vector deslizante: la clase de todos los vectores fijos que comparten igual módulo, recta de aplicación y sentido. En cierto sentido, es como si se pudiera deslizar el vector a lo largo de la recta de acción, pero sin invertirlo o escalarlo. Clasificación de vectores Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse: Vectores fijos o ligados: tienen un determinado punto de aplicación. Vectores libres: pueden estar aplicados en cualquier punto del espacio. Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
Podemos referirnos también a: Vectores unitarios: vectores de módulo uno. el vector nulo: es un vector de módulo igual a cero.
En función de las características de un vector respecto de otro, dos vectores pueden ser: Vectores paralelos: si los dos vectores tienen igual dirección. Vectores opuestos: si los dos vectores tienen igual magnitud y dirección, pero son de sentidos contrarios. Los vectores opuestos son paralelos. Vectores perpendiculares: si las direcciones de los dos vectores forman un ángulo recto, lo cual sucede precisamente cuando su producto escalar es cero.
En función de sus respectivas rectas de acción, dos vectores pueden ser: Vectores concurrentes o angulares: sus líneas de acción pasan por un mismo punto. Vectores colineales: sus recta de acción coinciden. Los vectores colineales son un caso particular de los vectores paralelos. Vectores coplanarios: vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
Dirección vs dirección y sentido
En inglés, la palabra direction indica tanto la dirección (orientation) como el sentido (sense), con lo que para definir un vector basta con especificar el módulo y la dirección (magnitude and direction).
No obstante, en lengua española, un vector se distingue por tres características: módulo, dirección y sentido.
Notación
En el espacio, un segmento orientado (un vector fijo) se denota con dos letras mayúsculas y una flecha hacia la derecha encima, que indican su origen y extremo respectivamente. Por ejemplo, un vector fijo con punto inicial en y punto final en , se representa como . Esta notación se utiliza frecuentemente en física para denotar los vectores que representan el desplazamiento.
En general, los vectores (libres) se representan mediante letras minúsculas. En los textos manuscritos, para diferenciarlos de los escalares, los vectores se representan mediante una flecha (o alternativamente con un trazo) sobre la letra que designa el vector, como por ejemplo (o bien ). En los textos impresos, es frecuente representar los vectores mediante letras en negrita (como ).
Como excepción, los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un acento circunflejo, por ejemplo .
El módulo de un vector se representa encerrando mediante dos barras verticales la letra que designa dicho vector. Así, el módulo de se representa como (en textos impresos, ).
En álgebra abstracta, se definen espacios vectoriales sin una clara interpretación geométrica (espacios de matrices, de polinomios, de funciones,...). En estos casos se emplean otras notaciones, apropiadas para cada caso. En algunos de estos espacios, en los llamados espacios normados, se define la norma de un vector (que generaliza la idea del módulo) que se suele representar con doble barra vertical: la norma de se representa como .
Componentes de un vector thumb|250px|Componentes del vector. Un vector en el espacio euclidiano tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , ( o u, v, w) paralelos a los ejes , , correspondientes. Los componentes del vector en una base predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores , , , son los componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Por ejemplo, los vectores unitarios se expresarían de la siguiente manera:
El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unos componentes respecto a dicha base. Dado un vector, solamente existen un número finito de componentes diferentes de cero.
Operaciones con vectores